2014年考研数学二第10题

已知函数$f(x)$在区间$[0,2]$上可导，且导函数为$f'(x)=2(x-1)$。为了求出$f(x)$的表达式，我们对$f'(x)$进行不定积分。由积分基本公式，有： $$\int f'(x) \, dx = \int 2(x-1) \, dx = 2 \int (x-1) \, dx.$$ 计算积分： $$2 \int (x-1) \, dx = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 - x \right) + C = x^2 - 2x + C,$$ 其中$C$为任意常数。注意到$x^2 - 2x$可以配方为$(x-1)^2 - 1$，因此积分结果也可写为： $$f(x) = (x-1)^2 + C_1,$$ 其中$C_1 = C - 1$，仍为任意常数。为简化形式，通常直接写成$f(x) = (x-1)^2 + C$，这里的$C$代表新的任意常数。 因此，$f(x)$在$[0,2]$上的表达式为$f(x) = (x-1)^2 + C$，其中$C$为待定常数，需由后续步骤中的条件（如初始条件或边界条件）确定。

已知函数$f(x)$是奇函数，且表达式为$f(x) = (x-1)^2 + C$。根据奇函数的定义，对于定义域内任意$x$，有$f(-x) = -f(x)$。特别地，若$f(x)$在$x=0$处有定义，则必有$f(0) = 0$。代入$x=0$到表达式：$f(0) = (0-1)^2 + C = 1 + C$。令$f(0)=0$，得$1 + C = 0$，解得$C = -1$。因此，函数表达式确定为$f(x) = (x-1)^2 - 1$。这一步骤利用了奇函数在原点处函数值为零的性质，是求解常数$C$的关键。

已知函数 $f(x)$ 的周期为 $4$，即对任意 $x$ 有 $f(x+4)=f(x)$。我们的目标是计算 $f(7)$，但已知条件仅给出 $f(x)$ 在区间 $[-1,3)$ 上的表达式。因此需要利用周期性将自变量 $7$ 转化到该区间内。 周期为 $4$ 意味着每增加或减少 $4$ 的整数倍，函数值不变。我们寻找整数 $k$ 使得 $7-4k$ 落在 $[-1,3)$ 内。 计算：$7 \div 4 = 1 \cdots 3$，即 $7 = 4 \times 1 + 3$。但 $3$ 不在区间 $[-1,3)$ 内（区间右端点为 $3$，不包含 $3$），所以需要再减去一个周期：$7 = 4 \times 2 - 1$，即 $7 = 8 - 1$。因此 $7 - 4 \times 2 = -1$，而 $-1$ 恰好在区间 $[-1,3)$ 的左端点上。 由周期性： $$f(7) = f(7 - 4 \times 2) = f(7 - 8) = f(-1).$$ 这样就将 $f(7)$ 转化为了 $f(-1)$，而 $x=-1$ 属于已知表达式定义的区间 $[-1,3)$，下一步即可代入具体表达式计算。 注意：周期性转化时，要确保减去周期倍数后的自变量落在已知区间内，并且注意区间端点的开闭情况。本题中区间左闭右开，$x=-1$ 包含在内，因此转化有效。

由题目已知条件，函数$f(x)$为奇函数，因此满足奇函数的定义：对于定义域内的任意$x$，有$f(-x) = -f(x)$。特别地，取$x=1$，可得$f(-1) = -f(1)$。 接下来需要计算$f(1)$的值。根据题目给出的函数表达式$f(x) = (x-1)^2 - 1$，代入$x=1$： $$f(1) = (1-1)^2 - 1 = 0^2 - 1 = 0 - 1 = -1.$$ 因此，$f(1) = -1$。代入奇函数关系式： $$f(-1) = -f(1) = -(-1) = 1.$$ 所以，$f(-1) = 1$。

由前几步的推导可知，函数$f(x)$满足递推关系$f(x+6)=f(x)$，即$f(x)$是以6为周期的周期函数。题目要求计算$f(7)$的值。利用周期性，将自变量7减去一个周期6，得到$f(7)=f(7-6)=f(1)$。因此，问题转化为求$f(1)$的值。 回顾题目给出的函数定义（或前几步已求出的表达式），当$x \in [0,3]$时，$f(x)=x$；当$x \in [3,6]$时，$f(x)=6-x$。由于$1 \in [0,3]$，所以$f(1)=1$。于是$f(7)=f(1)=1$。 验证：根据周期性，$f(7)=f(1)=1$，同时也可直接验证$f(13)=f(7)=1$等，结果一致。因此最终答案为$1$。