2014年考研数学二第9题

首先，观察分母为二次三项式 $x^2+2x+5$。配方的目标是将其化为完全平方加常数的形式，即 $(x+1)^2+4$。具体步骤如下： 1. 提取二次项和一次项：$x^2+2x$。 2. 加上一次项系数一半的平方：一次项系数为 $2$，一半为 $1$，平方为 $1$。于是 $x^2+2x+1 = (x+1)^2$。 3. 原分母为 $x^2+2x+5$，为了保持等式成立，我们在 $x^2+2x$ 后加上 $1$ 再减去 $1$，即： $$x^2+2x+5 = (x^2+2x+1) + (5-1) = (x+1)^2 + 4.$$ 因此，分母配方后的形式为 $(x+1)^2+4$。

为了简化被积函数的形式，我们进行变量代换。令 $t = x + 1$，则 $x = t - 1$，$dx = dt$。当 $x \to -\infty$ 时，$t \to -\infty$；当 $x = 1$ 时，$t = 2$。因此积分限从 $x$ 的 $(-\infty, 1]$ 变为 $t$ 的 $(-\infty, 2]$。原积分化为： $$ \int_{-\infty}^{1} \frac{1}{x^2 + 2x + 5} \, dx = \int_{-\infty}^{2} \frac{1}{(t-1)^2 + 2(t-1) + 5} \, dt. $$ 化简分母： $$ (t-1)^2 + 2(t-1) + 5 = t^2 - 2t + 1 + 2t - 2 + 5 = t^2 + 4. $$ 因此积分变为： $$ \int_{-\infty}^{2} \frac{1}{t^2 + 4} \, dt. $$ 这样，被积函数成为标准形式 $\frac{1}{t^2 + a^2}$（其中 $a = 2$），便于后续使用反正切函数的积分公式。

此时积分变量已化为 $t$，被积函数为 $\frac{1}{t^2+4}$。观察分母形式，可将其写成 $t^2+2^2$，因此符合公式 $\int \frac{1}{t^2+a^2} \, dt = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{t}{a}\right) + C$，其中 $a=2$。 直接代入公式： $$ \int \frac{1}{t^2+4} \, dt = \int \frac{1}{t^2+2^2} \, dt = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{t}{2}\right) + C. $$ 注意，这里 $C$ 为任意常数。由于原积分是定积分，后续代入上下限时常数会抵消，因此在本步骤中只需写出不定积分的结果。 为了验证公式的正确性，可以对结果求导： $$ \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{t}{2}\right) \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+(t/2)^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+t^2/4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{t^2+4} = \frac{1}{t^2+4}, $$ 与积分前的被积函数一致，说明结果正确。 至此，我们得到了关于 $t$ 的原函数：$\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{t}{2}\right)$。下一步将把 $t$ 换回原变量 $x$，并代入积分上下限计算定积分值。

本步骤计算定积分的值。已知积分结果为 $\int_{-\infty}^{2} \frac{1}{x^2+4x+8} \, dx = \frac{1}{2} \left[ \arctan\left(\frac{x+2}{2}\right) \right]_{-\infty}^{2}$。首先代入上限 $t=2$：$\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{2+2}{2}\right) = \frac{1}{2} \arctan(2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$。然后代入下限 $t \to -\infty$：$\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{-\infty+2}{2}\right) = \frac{1}{2} \arctan(-\infty) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$。因此定积分值为 $\frac{\pi}{8} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$。验证：$\frac{3\pi}{8} \approx 1.1781$，积分函数 $\frac{1}{x^2+4x+8}$ 在 $(-\infty,2]$ 上恒正且面积有限，结果为正数，合理。最终答案为 $\frac{3\pi}{8}$。