2014年考研数学二第8题

首先明确题目条件：设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是三维向量空间中的向量，$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$，$\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3$，$\beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$。需要判断 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性无关的充分必要条件。 在必要性方向，我们假设 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性无关，要推出 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关。采用反证法思路：假设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，则存在不全为零的系数 $k_1,k_2,k_3$ 使得 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0$。通过这个关系尝试构造 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 的线性组合为零，从而与 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性无关矛盾。 具体地，将 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 用 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 表示，写成矩阵形式： $$(\beta_1,\beta_2,\beta_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$ 记系数矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。 若 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关，则矩阵 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的秩小于3。由于 $A$ 是可逆矩阵（因为 $\det(A)=2 \neq 0$），左乘可逆矩阵不改变秩，所以 $(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ 的秩等于 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 的秩，也小于3，从而 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性相关，与假设矛盾。因此 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 必须线性无关。 这一步骤的核心是利用可逆矩阵乘不改变向量组的秩这一性质，将 $\beta$ 组的线性无关性转化为 $\alpha$ 组的线性无关性，从而完成必要性方向的证明。

已知系数矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ k & l \end{pmatrix}$，记作 $A$。我们需要计算矩阵 $A$ 的秩。矩阵 $A$ 是一个 $3 \times 2$ 矩阵，其列向量为 $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ k\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ l\end{pmatrix}$。观察这两个列向量，它们显然不成比例：第一个列向量的前两个分量为 $(1,0)$，第二个列向量的前两个分量为 $(0,1)$，无论 $k$ 和 $l$ 取何值，都不存在一个常数 $\lambda$ 使得 $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ k\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ l\end{pmatrix}$，因为第一个分量要求 $1 = \lambda \cdot 0$，这不可能成立。因此，两个列向量线性无关，故矩阵 $A$ 的列秩为 $2$。由于矩阵的秩等于列秩，所以 $\operatorname{rank}(A) = 2$。又因为 $A$ 只有两列，其秩不可能超过 $2$，因此秩恰好为 $2$。这意味着系数矩阵满列秩，从而由该系数矩阵定义的线性变换是单射，即变换后的向量组 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关。由此，必要性得证。

本步骤分析充分性方向，即判断“变换后的向量组线性无关”是否能推出“原向量组线性无关”。我们尝试构造反例来否定充分性。 取$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，$\alpha_3=0$（零向量）。则原向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性相关（因为含有零向量）。 现在进行题目所给的变换（题目中变换为：$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$）。代入上述取值： - $\beta_1 = \alpha_1+\alpha_2$， - $\beta_2 = \alpha_2+0 = \alpha_2$， - $\beta_3 = 0+\alpha_1 = \alpha_1$。 由于$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，故$\beta_1,\beta_2,\beta_3$实际上就是$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,\alpha_1$。这三个向量是否线性无关？设$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2\alpha_2+k_3\alpha_1=0$，整理得$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2=0$。由$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，得$k_1+k_3=0$且$k_1+k_2=0$。取$k_1=1$，则$k_3=-1$，$k_2=-1$，得到非零系数$(1,-1,-1)$使得线性组合为零，因此$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性相关。 但我们需要的是变换后向量组线性无关的情形。为此，我们修改反例：取$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，$\alpha_3=0$，但此时变换后向量组是线性相关的，不满足“变换后线性无关”的前提。因此需要构造一个使变换后向量组线性无关，但原向量组线性相关的例子。 考虑：取$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，令$\alpha_3 = -\alpha_1-\alpha_2$。则原向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性相关（因为$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0$）。计算变换后的向量： - $\beta_1 = \alpha_1+\alpha_2$， - $\beta_2 = \alpha_2+\alpha_3 = \alpha_2-\alpha_1-\alpha_2 = -\alpha_1$， - $\beta_3 = \alpha_3+\alpha_1 = -\alpha_1-\alpha_2+\alpha_1 = -\alpha_2$。 于是$\beta_1,\beta_2,\beta_3$分别为$\alpha_1+\alpha_2,\, -\alpha_1,\, -\alpha_2$。这三个向量线性无关吗？设$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(-\alpha_1)+k_3(-\alpha_2)=0$，整理得$(k_1-k_2)\alpha_1+(k_1-k_3)\alpha_2=0$。由$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，得$k_1=k_2$且$k_1=k_3$，即$k_1=k_2=k_3$。取$k_1=1$，则$k_2=1,k_3=1$，得到非零系数$(1,1,1)$使得线性组合为零，因此$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性相关。 再尝试：取$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，$\alpha_3 = \alpha_1$。则原向量组线性相关（因为$\alpha_1,\alpha_3$成比例）。变换后： - $\beta_1 = \alpha_1+\alpha_2$， - $\beta_2 = \alpha_2+\alpha_1 = \alpha_1+\alpha_2 = \beta_1$， - $\beta_3 = \alpha_1+\alpha_1 = 2\alpha_1$。 显然$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性相关（$\beta_1=\beta_2$）。 经过尝试，我们发现要构造“变换后线性无关但原向量组线性相关”的反例似乎困难。实际上，本题的充分性成立，即变换后向量组线性无关可推出原向量组线性无关。但题目要求分析充分性方向，我们需指出：若假设充分性成立，则需证明；若假设不成立，则需举反例。此处我们通过尝试构造反例失败，暗示充分性可能成立，但本步骤仅需展示反例构造思路，并说明构造反例的困难，从而为下一步（证明充分性）做铺垫。 因此，本步骤结论：充分性方向尚未被反例否定，需进一步证明。

综合前几步的分析，首先验证必要性：若矩阵$A$与$B$相似，则存在可逆矩阵$P$使得$B = P^{-1}AP$。对任意正整数$k$，有$B^k = P^{-1}A^k P$，因此$\mathrm{tr}(B^k) = \mathrm{tr}(P^{-1}A^k P) = \mathrm{tr}(A^k)$，故必要性成立。\n\n再验证充分性：若对任意正整数$k$，均有$\mathrm{tr}(A^k) = \mathrm{tr}(B^k)$，是否一定能推出$A$与$B$相似？考虑反例：设$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。计算得$A^2 = 0$，$B^2 = 0$，且$A^k = 0$，$B^k = 0$对$k \geq 2$成立。又$\mathrm{tr}(A) = 0$，$\mathrm{tr}(B) = 0$，$\mathrm{tr}(A^2) = 0$，$\mathrm{tr}(B^2) = 0$，故对任意$k$，$\mathrm{tr}(A^k) = \mathrm{tr}(B^k)$成立。但$A$与$B$不相似，因为$A$的秩为1，$B$的秩为0，且$A$的Jordan标准形为$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B$的Jordan标准形为$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，两者不同。因此充分性不成立。\n\n综上，条件“对任意正整数$k$，$\mathrm{tr}(A^k) = \mathrm{tr}(B^k)$”是$A$与$B$相似的必要非充分条件。故正确选项为(A)。