2014年考研数学二第7题

设原4阶行列式为 $D = \begin{vmatrix} 0 & a & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c \\ 0 & d & e & 0 \\ f & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$。按第一行展开，第一行元素为 $a_{11}=0$, $a_{12}=a$, $a_{13}=b$, $a_{14}=0$。非零元素只有 $a_{12}=a$ 和 $a_{13}=b$。 对于元素 $a_{12}=a$，其位置为第1行第2列，故其代数余子式为 $A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -M_{12}$，其中 $M_{12}$ 是划去第1行第2列后得到的3阶子式： $$M_{12} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & c \\ 0 & e & 0 \\ f & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ 因此 $a_{12}A_{12} = a \cdot (-M_{12}) = -a \begin{vmatrix} 0 & 0 & c \\ 0 & e & 0 \\ f & 0 & 0 \end{vmatrix}$。 对于元素 $a_{13}=b$，其位置为第1行第3列，故其代数余子式为 $A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = M_{13}$，其中 $M_{13}$ 是划去第1行第3列后得到的3阶子式： $$M_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & c \\ 0 & d & 0 \\ f & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ 因此 $a_{13}A_{13} = b \cdot M_{13} = b \begin{vmatrix} 0 & 0 & c \\ 0 & d & 0 \\ f & 0 & 0 \end{vmatrix}$。 所以按第一行展开得： $$D = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} + a_{14}A_{14} = 0 + (-a) \begin{vmatrix} 0 & 0 & c \\ 0 & e & 0 \\ f & 0 & 0 \end{vmatrix} + b \begin{vmatrix} 0 & 0 & c \\ 0 & d & 0 \\ f & 0 & 0 \end{vmatrix} + 0$$ 即 $$D = -a \begin{vmatrix} 0 & 0 & c \\ 0 & e & 0 \\ f & 0 & 0 \end{vmatrix} + b \begin{vmatrix} 0 & 0 & c \\ 0 & d & 0 \\ f & 0 & 0 \end{vmatrix}$$

我们需要计算行列式 $\begin{vmatrix} a & 0 & b \\ 0 & d & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix}$。 **方法一：按第二行展开** 第二行元素为 $0, d, 0$，对应的代数余子式分别为 $A_{21}, A_{22}, A_{23}$。 - 元素 $0$ 的代数余子式乘以 $0$ 为 $0$，因此只需计算第二行第二列元素 $d$ 的代数余子式。 - 元素 $d$ 位于第2行第2列，其代数余子式为 $(-1)^{2+2} M_{22} = M_{22}$，其中 $M_{22}$ 是去掉第2行第2列后得到的2阶子式： $$M_{22} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c = ad - bc.$$ - 因此行列式的值为 $d \cdot (ad - bc) = d(ad - bc)$。 **方法二：直接计算（对角线法则）** 对于3阶行列式，也可用对角线法则： $$\begin{vmatrix} a & 0 & b \\ 0 & d & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix} = a \cdot d \cdot d + 0 \cdot 0 \cdot c + b \cdot 0 \cdot 0 - (b \cdot d \cdot c + 0 \cdot 0 \cdot a + d \cdot 0 \cdot 0).$$ 计算各项： - 主对角线乘积：$a \cdot d \cdot d = a d^2$， - 副对角线乘积：$b \cdot d \cdot c = b c d$， - 其余项均为 $0$。 因此行列式值为 $a d^2 - b c d = d(ad - bc)$。 两种方法结果一致，得到 $\begin{vmatrix} a & 0 & b \\ 0 & d & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix} = d(ad - bc)$。

本步骤需要计算行列式 $\begin{vmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix}$。采用按第二行展开的方法，因为第二行只有一个非零元素 $c$，可以简化计算。 按第二行展开的公式为： $$\begin{vmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\ c & 0 & d \end{vmatrix} = (-1)^{2+2} \cdot c \cdot M_{22}$$ 其中 $M_{22}$ 是元素 $c$ 的余子式，即去掉第二行和第二列后得到的 $2\times2$ 子式： $$M_{22} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c$$ 由于 $(-1)^{2+2}=1$，因此原行列式等于： $$c \cdot (ad - bc) = c(ad - bc)$$ 也可以直接利用行列式的性质计算：将行列式按第二行展开，由于第二行其他元素均为0，结果即为 $c$ 乘以对应的代数余子式，结果相同。 因此，第二个3阶行列式的计算结果为 $c(ad - bc)$。

将前一步计算出的两个三阶行列式结果代入第一步的展开式中。第一步的展开式为： $$\text{原式} = -a \cdot D_{11} + b \cdot D_{12}$$ 其中 $D_{11}$ 和 $D_{12}$ 分别是两个三阶行列式。 由前一步已知： $$D_{11} = d(ad - bc)$$ $$D_{12} = c(ad - bc)$$ 代入得： $$\text{原式} = -a \cdot [d(ad - bc)] + b \cdot [c(ad - bc)]$$ 提取公因式 $(ad - bc)$： $$\text{原式} = (ad - bc)(-a \cdot d + b \cdot c)$$ 注意到 $-a \cdot d + b \cdot c = -(ad - bc)$，因此： $$\text{原式} = (ad - bc) \cdot [-(ad - bc)] = -(ad - bc)^2$$ 至此，原四阶行列式化简为 $-(ad - bc)^2$。

经过前几步的化简，我们得到行列式的最终结果为 $-(ad-bc)^2$。现在将此结果与四个选项逐一比较： 选项（A）：$ad-bc$，与我们的结果符号和平方均不符，排除。 选项（B）：$-(ad-bc)^2$，完全一致，符合。 选项（C）：$a^2d^2-b^2c^2$，展开后为 $(ad-bc)(ad+bc)$，不等于 $-(ad-bc)^2$，排除。 选项（D）：$(bc-ad)^2$，由于 $(bc-ad)^2 = (ad-bc)^2$，缺少负号，排除。 因此，正确选项为（B）。 最终答案验证：将原行列式按第一行展开或利用行列式性质计算，结果确为 $-(ad-bc)^2$，与选项（B）一致，故选择（B）。