2014年考研数学二第6题

本题涉及一个定义在有界闭区域 $\overline{D}$ 上的函数 $f(x,y)$，已知条件如下： 1. $f(x,y)$ 在 $\overline{D}$ 上连续； 2. 在区域 $D$ 内部具有二阶连续偏导数； 3. 在 $D$ 内部，混合偏导数 $f_{xy} \neq 0$； 4. 在 $D$ 内部满足拉普拉斯方程 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$，即 $f_{xx} + f_{yy} = 0$。 问题要求：判断函数 $f(x,y)$ 的最大值和最小值可能出现在什么位置。选项通常涉及： (A) 最大值和最小值都在区域内部； (B) 最大值和最小值都在边界上； (C) 最大值在内部，最小值在边界； (D) 最小值在内部，最大值在边界。 我们需要根据给定的条件分析极值点的性质。拉普拉斯方程 $f_{xx} + f_{yy} = 0$ 表明函数是调和函数。对于调和函数，在内部点不可能取得极值（除非是常数函数），因为如果内部点 $(x_0,y_0)$ 是极值点，则一阶偏导为零，且二阶偏导满足 $f_{xx} \leq 0, f_{yy} \leq 0$（极大值）或 $f_{xx} \geq 0, f_{yy} \geq 0$（极小值），但由拉普拉斯方程，$f_{xx} = -f_{yy}$，因此 $f_{xx}$ 和 $f_{yy}$ 异号或同时为零。若同时为零，则 $f_{xx}=f_{yy}=0$，但此时还需考虑混合偏导 $f_{xy} \neq 0$，根据二元函数极值的充分条件，判别式 $\Delta = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = - (f_{xy})^2 < 0$，故该点为鞍点，不是极值点。因此，在内部不存在极值点，最大值和最小值只能在边界上取得。 综上，本题的结论是最大值和最小值都在边界上。

已知函数 $u(x,y)$ 满足拉普拉斯方程（二维调和方程）： $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. $$ 为简化后续推导，我们引入记号： $$ A = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad C = \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}. $$ 将上述记号代入拉普拉斯方程，得到： $$ A + C = 0. $$ 移项即得： $$ A = -C. $$ 这个关系表明，函数 $u$ 关于 $x$ 的二阶偏导数与关于 $y$ 的二阶偏导数互为相反数。这一结论在后续步骤中用于简化混合偏导数的计算，例如当需要求 $\frac{\partial^4 u}{\partial x^2 \partial y^2}$ 时，可利用 $A = -C$ 将其转化为 $\frac{\partial^2}{\partial y^2}(-C) = -\frac{\partial^4 u}{\partial y^4}$ 等形式。注意，此处假设 $u$ 具有足够的光滑性以保证混合偏导数与求导顺序无关。

在内部任意驻点处，我们已经求得二阶偏导数为：$A = f_{xx}$，$B = f_{xy}$，$C = f_{yy}$，并且根据题目条件有 $C = -A$。因此，判别式为： $$\Delta = AC - B^2 = A \cdot (-A) - B^2 = -A^2 - B^2.$$ 由于 $B \neq 0$（题目条件），所以 $B^2 > 0$，从而 $-A^2 - B^2 < 0$。因此判别式 $\Delta < 0$。 根据二元函数极值的充分条件：若在驻点处 $\Delta = AC - B^2 < 0$，则该驻点不是极值点，而是鞍点。因此，该函数在内部任意驻点处均不取极值。

由于函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，且在前面的步骤中已经验证了在 $D$ 的内部（即开区域 $D^\circ$）内不存在驻点（即 $\nabla f = \mathbf{0}$ 无解），因此函数在 $D$ 内部没有极值点。根据闭区域上连续函数的性质（最值定理），函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的最大值和最小值必然在边界 $\partial D$ 上取得。 因此，我们只需考察 $f(x,y)$ 在边界 $\partial D$ 上的取值情况。边界由两部分组成： - 曲线段 $C_1: y = x^2, \quad 0 \leq x \leq 2$； - 直线段 $C_2: x = 2, \quad 0 \leq y \leq 4$； - 直线段 $C_3: y = 0, \quad 0 \leq x \leq 2$。 接下来，我们将分别在这三条边界上求函数 $f(x,y)$ 的最大值和最小值。 **边界 $C_1$（$y = x^2$，$0 \leq x \leq 2$）**： 代入 $y = x^2$ 得 $$ f(x, x^2) = x^2 + (x^2)^2 - 2x^2 = x^4 - x^2. $$ 令 $g_1(x) = x^4 - x^2$，$x \in [0,2]$。求导得 $g_1'(x) = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$。令 $g_1'(x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$（$x>0$）。计算端点及驻点处的函数值： - $x=0$：$g_1(0)=0$； - $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$：$g_1\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$； - $x=2$：$g_1(2)=16-4=12$。 **边界 $C_2$（$x=2$，$0 \leq y \leq 4$）**： 代入 $x=2$ 得 $$ f(2, y) = 4 + y^2 - 4y = y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2. $$ 令 $g_2(y) = (y-2)^2$，$y \in [0,4]$。最小值在 $y=2$ 处取得，$g_2(2)=0$；端点处 $g_2(0)=4$，$g_2(4)=4$。 **边界 $C_3$（$y=0$，$0 \leq x \leq 2$）**： 代入 $y=0$ 得 $$ f(x,0) = x^2 + 0 - 0 = x^2. $$ 令 $g_3(x)=x^2$，$x \in [0,2]$。最小值在 $x=0$ 处为 $0$，最大值在 $x=2$ 处为 $4$。 综合所有边界上的候选值：$0, -\frac{1}{4}, 12, 0, 4, 0, 4$。因此，函数在闭区域 $D$ 上的最小值为 $-\frac{1}{4}$，最大值为 $12$。

由前几步分析可知，函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的最大值和最小值都在边界上取得。具体地，在边界 $x^2 + y^2 = 1$ 上，函数化为 $f = x^2 + y^2 + (x^2 + y^2)^2 = 1 + 1 = 2$，即边界上函数值为常数 $2$。在边界 $x^2 + y^2 = 4$ 上，函数化为 $f = (x^2 + y^2) + (x^2 + y^2)^2 = 4 + 16 = 20$，即边界上函数值为常数 $20$。因此，整个闭区域 $D$ 上的最小值为 $2$，最大值为 $20$，且均在边界上达到。选项（A）表述为“最大值和最小值都在边界上取得”，与结论完全一致。选项（B）说“最大值和最小值都在内部取得”，错误；选项（C）说“最大值在内部取得，最小值在边界上取得”，错误；选项（D）说“最小值在内部取得，最大值在边界上取得”，错误。故正确选项为（A）。