2014年考研数学二第5题

首先，题目中给定的函数为 $f(x) = \arctan x$。我们需要求出该函数的导函数 $f'(x)$，然后代入 $x = \xi$ 得到 $f'(\xi)$ 的表达式。 根据基本导数公式，反正切函数的导数为： $$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}.$$ 因此，对于任意实数 $x$，有 $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$。 将 $x$ 替换为 $\xi$，即得： $$f'(\xi) = \frac{1}{1+\xi^2}.$$ 这个表达式是后续步骤中应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理的基础，它直接给出了函数在点 $\xi$ 处的瞬时变化率。注意，$\xi$ 是区间 $(a,b)$ 内的某个点，其具体值由中值定理确定，但此处我们只需写出其导数形式。

由第一步得到的等式 $f(x) = x f'(\xi)$，代入 $f(x) = \arctan x$ 和 $f'(\xi) = \frac{1}{1+\xi^2}$，可得： $$ \arctan x = x \cdot \frac{1}{1+\xi^2} = \frac{x}{1+\xi^2}. $$ 为了解出 $\xi^2$，将等式两边同时乘以 $1+\xi^2$，得到： $$ (1+\xi^2) \arctan x = x. $$ 接着，两边同时除以 $\arctan x$（注意 $x \neq 0$ 时 $\arctan x \neq 0$，此处 $x>0$ 保证分母不为零），得到： $$ 1+\xi^2 = \frac{x}{\arctan x}. $$ 最后，将常数 $1$ 移到等号右边，即得： $$ \xi^2 = \frac{x}{\arctan x} - 1. $$ 至此，我们成功用 $x$ 表示了 $\xi^2$，为下一步分析 $\xi$ 与 $x$ 的关系奠定了基础。

由第二步已知，当$x \to 0$时，$\xi$介于$x$与$\arctan x$之间，且$\xi \to 0$。根据夹逼准则，我们有$\xi \sim x$（或$\xi \sim \arctan x$）。为了将极限$\lim_{x \to 0} \frac{\xi^2}{x^2}$转化为关于$x$的极限，我们需要用$x$和$\arctan x$表示$\xi$。由拉格朗日中值定理的结论：$\arctan x - \arctan 0 = \frac{1}{1+\xi^2}(x-0)$，即$\arctan x = \frac{x}{1+\xi^2}$。由此解出$\xi^2 = \frac{x}{\arctan x} - 1$。于是原极限化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\xi^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\arctan x} - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^2 \arctan x}. $$ 这样，我们就将含有中间点$\xi$的极限完全转化为了仅关于$x$的极限，从而可以利用常规的极限计算方法（如洛必达法则、泰勒展开等）进行后续求解。

在极限计算中，当$x \to 0$时，我们常用等价无穷小替换来简化表达式。本题分母为$x^2 \arctan x$。由于当$x \to 0$时，$\arctan x \sim x$，即$\arctan x$与$x$是等价无穷小，因此可以将分母中的$\arctan x$替换为$x$。注意，等价无穷小替换只能用于乘除因子，不能用于加减项。这里分母是乘积形式，所以替换是合法的。替换后，分母变为$x^2 \cdot x = x^3$。于是原极限 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^2 \arctan x} $$ 可化为 $$ \lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^3}. $$ 这一步简化将分母从$x^2 \arctan x$变为$x^3$，使得分母成为单一幂函数，便于后续使用洛必达法则或泰勒展开。注意，替换过程中要确保等价无穷小的使用条件满足，即$\arctan x$确实与$x$等价，且$x \neq 0$（极限过程$x \to 0$，但$x$本身可以趋近于0而不等于0）。经过此步，极限形式更加简洁，为下一步计算奠定基础。

本步骤对极限 $\lim_{x\to 0}\frac{x-\arctan x}{x^3}$ 应用洛必达法则。由于当 $x\to 0$ 时分子分母均趋于 $0$，满足 $\frac{0}{0}$ 型未定式条件，可对分子分母分别求导。分子 $x-\arctan x$ 的导数为 $1-\frac{1}{1+x^2}$，分母 $x^3$ 的导数为 $3x^2$，因此原极限化为： $$ \lim_{x\to 0}\frac{1-\frac{1}{1+x^2}}{3x^2}. $$ 将分子通分：$1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{1+x^2-1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}$，代入得： $$ \lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{3x^2(1+x^2)}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{3(1+x^2)}. $$ 当 $x\to 0$ 时，$1+x^2\to 1$，故极限值为 $\frac{1}{3}$。 **最终答案验证**：将 $x=0.1$ 代入原式近似计算：$\frac{0.1-\arctan 0.1}{0.001}\approx\frac{0.1-0.0996687}{0.001}=0.3313$，接近 $\frac{1}{3}\approx0.3333$，结果合理。也可用泰勒展开验证：$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，代入得 $\frac{x - (x - x^3/3 + o(x^3))}{x^3} = \frac{1}{3} + o(1) \to \frac{1}{3}$。