2015年考研数学二第12题

给定二阶常系数齐次线性微分方程 $y'' + y' - 2y = 0$。对于此类方程，我们假设解的形式为 $y = e^{\lambda x}$，其中 $\lambda$ 为待定常数。将 $y = e^{\lambda x}$ 代入方程，有 $y' = \lambda e^{\lambda x}$，$y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$。代入后得到： $$\lambda^2 e^{\lambda x} + \lambda e^{\lambda x} - 2 e^{\lambda x} = 0.$$ 由于 $e^{\lambda x} \neq 0$，两边同时除以 $e^{\lambda x}$，得到特征方程： $$\lambda^2 + \lambda - 2 = 0.$$ 这是一个一元二次方程，利用因式分解法：寻找两个数，乘积为 $-2$，和为 $1$，易得 $2$ 和 $-1$，因此 $$(\lambda + 2)(\lambda - 1) = 0.$$ 解得两个特征根： $$\lambda_1 = -2, \quad \lambda_2 = 1.$$ 这两个根为相异实根，为后续写出通解 $y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}$ 奠定了基础。

由第一步得到的特征方程 $r^2 + r - 2 = 0$，解得两个不同的实根 $r_1 = -2$，$r_2 = 1$。对于二阶常系数线性齐次微分方程，当特征方程有两个不相等的实根时，通解形式为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$，其中 $C_1$、$C_2$ 为任意常数。将 $r_1 = -2$，$r_2 = 1$ 代入，得到通解： $$ y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} $$ 这里 $e^{-2x}$ 和 $e^{x}$ 是两个线性无关的解，它们的线性组合构成整个解空间。该通解适用于原微分方程 $y'' + y' - 2y = 0$ 的所有解。

题目给出微分方程的通解为 $y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}$，并已知该函数在 $x=0$ 处取得极值。根据极值的必要条件，若函数在 $x=0$ 处可导且取得极值，则必有 $y'(0)=0$。 首先对通解求导。由 $y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}$，利用指数函数的导数公式 $(e^{kx})' = k e^{kx}$，得到： $$y' = C_1 \cdot (-2) e^{-2x} + C_2 \cdot 1 \cdot e^{x} = -2C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x}.$$ 将 $x=0$ 代入导函数表达式。注意 $e^{0}=1$，因此： $$y'(0) = -2C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 1 = -2C_1 + C_2.$$ 由极值条件 $y'(0)=0$，得到方程： $$-2C_1 + C_2 = 0.$$ 此方程即为利用极值条件建立的关于任意常数 $C_1$ 和 $C_2$ 的关系式，它将与后续步骤中的其他条件联立，以确定通解中的常数。

已知函数 $y(x)$ 在 $x=0$ 处取得极值，且极值为 $3$，即 $y(0)=3$。 前一步已求得微分方程的通解为 $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x}$。 将 $x=0$ 代入通解： $$y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2$$ 由极值条件 $y(0)=3$，得到方程： $$C_1 + C_2 = 3$$ 此方程将用于后续步骤中与另一个条件（极值点处导数为零）联立，以确定常数 $C_1$ 和 $C_2$ 的具体值。

由前一步得到的两个方程： $$-2C_1 + C_2 = 0 \quad \text{(1)}$$ $$C_1 + C_2 = 3 \quad \text{(2)}$$ 首先，从方程(1)可得 $C_2 = 2C_1$。将其代入方程(2)： $$C_1 + 2C_1 = 3 \quad \Rightarrow \quad 3C_1 = 3 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 1$$ 再将 $C_1 = 1$ 代入 $C_2 = 2C_1$，得 $C_2 = 2$。 因此，原微分方程的通解为： $$y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} = 1 \cdot e^{-2x} + 2 \cdot e^{x} = e^{-2x} + 2e^{x}$$ **验证**：将 $y(x) = e^{-2x} + 2e^{x}$ 代入初始条件 $y(0)=3$： $$y(0) = e^{0} + 2e^{0} = 1 + 2 = 3$$ 满足条件。再求导 $y'(x) = -2e^{-2x} + 2e^{x}$，代入 $y'(0)=0$： $$y'(0) = -2 + 2 = 0$$ 也满足条件。故解正确。 最终函数为： $$\boxed{y(x)=e^{-2x}+2e^{x}}$$