2015年考研数学二第11题

首先，观察题目中给出的函数 $\varphi(x) = \int_{0}^{x^{2}} x f(t) \, dt$。注意，积分变量是 $t$，而被积函数中含有 $x$，且 $x$ 与积分变量 $t$ 无关。因此，在积分过程中，$x$ 可以视为常数。根据定积分的性质，常数因子可以提到积分号外面，即： $$\varphi(x) = x \int_{0}^{x^{2}} f(t) \, dt.$$ 这样，我们就将原表达式化简为 $x$ 乘以一个关于 $x$ 的变上限积分函数的形式。这一步是后续求导的基础，因为现在 $\varphi(x)$ 可以看作两个函数的乘积：$x$ 与 $F(x^{2})$，其中 $F(u) = \int_{0}^{u} f(t) \, dt$。这种形式便于应用乘积求导法则和复合函数求导法则。

已知函数 $\varphi(x)=x\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt$，其中 $f(t)$ 为连续函数。我们需要对 $\varphi(x)$ 求导。 $\varphi(x)$ 是乘积形式：$x$ 乘以一个变上限积分 $\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt$。因此，应用乘积法则： $$\varphi'(x)=\left(x\right)'\cdot\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt + x\cdot\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt\right).$$ 第一项：$(x)'=1$，所以第一项为 $\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt$。 第二项：对变上限积分求导，上限为 $x^{2}$，被积函数为 $f(t)$，利用变限积分求导公式： $$\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt\right)=f(x^{2})\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=f(x^{2})\cdot 2x.$$ 因此第二项为 $x\cdot 2x\cdot f(x^{2})=2x^{2}f(x^{2})$。 将两项相加，得到： $$\varphi'(x)=\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt + 2x^{2}f(x^{2}).$$

已知函数 $\varphi(x)=x\int_{0}^{x}f(t)dt + 2\int_{1}^{x}t^{2}f(t)dt$，且 $\varphi(1)=1$，$\varphi'(1)=5$。 首先代入 $x=1$ 到 $\varphi(x)$ 的表达式中： $$ \varphi(1)=1\cdot\int_{0}^{1}f(t)dt + 2\int_{1}^{1}t^{2}f(t)dt = \int_{0}^{1}f(t)dt + 0 = \int_{0}^{1}f(t)dt. $$ 由已知条件 $\varphi(1)=1$，得到 $$ \int_{0}^{1}f(t)dt = 1. \tag{1} $$ 接下来利用 $\varphi'(1)=5$。先对 $\varphi(x)$ 求导。由乘积法则和变上限积分求导法则： $$ \varphi'(x) = \frac{d}{dx}\left[x\int_{0}^{x}f(t)dt\right] + \frac{d}{dx}\left[2\int_{1}^{x}t^{2}f(t)dt\right]. $$ 第一项： $$ \frac{d}{dx}\left[x\int_{0}^{x}f(t)dt\right] = \int_{0}^{x}f(t)dt + x\cdot f(x). $$ 第二项： $$ \frac{d}{dx}\left[2\int_{1}^{x}t^{2}f(t)dt\right] = 2\cdot x^{2}f(x). $$ 因此 $$ \varphi'(x) = \int_{0}^{x}f(t)dt + x f(x) + 2x^{2}f(x) = \int_{0}^{x}f(t)dt + (x+2x^{2})f(x). $$ 代入 $x=1$： $$ \varphi'(1) = \int_{0}^{1}f(t)dt + (1+2\cdot1^{2})f(1) = \int_{0}^{1}f(t)dt + 3f(1). $$ 由已知 $\varphi'(1)=5$ 和式(1) $\int_{0}^{1}f(t)dt=1$，得 $$ 1 + 3f(1) = 5 \quad \Rightarrow \quad 3f(1) = 4 \quad \Rightarrow \quad f(1) = \frac{4}{3}. $$ 至此，我们得到了两个关键结果：$\int_{0}^{1}f(t)dt = 1$ 和 $f(1) = \frac{4}{3}$，为下一步求解 $f(x)$ 提供了条件。

已知前一步已得到两个方程： (1) $\int_0^1 f(t) dt = 1$； (2) $\int_0^1 f(t) dt + 2f(1) = 5$。 将方程(1)代入方程(2)： $$1 + 2f(1) = 5$$ 移项，将常数项移至等号右边： $$2f(1) = 5 - 1$$ $$2f(1) = 4$$ 两边同时除以2，解得： $$f(1) = \frac{4}{2} = 2$$ 因此，$f(1) = 2$。 验证：将$f(1)=2$和$\int_0^1 f(t) dt = 1$代入原方程(2)： $$1 + 2 \times 2 = 1 + 4 = 5$$ 等式成立，结果正确。