2015年考研数学二第10题

首先，我们分析函数 $f(x) = x^2 \cdot 2^x$ 的结构。该函数由两个基本初等函数相乘得到：一个是幂函数 $x^2$，另一个是指数函数 $2^x$。为了后续求导的方便，我们将 $f(x)$ 写成两个函数的乘积形式，即令 $u(x) = x^2$，$v(x) = 2^x$，则 $f(x) = u(x) \cdot v(x)$。这样做的目的是为应用乘积法则求导做准备。乘积法则指出：若 $f(x) = u(x)v(x)$，则 $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$。因此，识别出 $u(x)$ 和 $v(x)$ 是正确求导的第一步。这里 $u(x) = x^2$ 是幂函数，其导数为 $u'(x) = 2x$；$v(x) = 2^x$ 是指数函数，其导数为 $v'(x) = 2^x \ln 2$。通过这种分解，我们可以清晰地看到函数的结构，并为后续步骤中计算导数奠定基础。

设 $f(x) = x^2 \ln(1+x)$，为求其 $n$ 阶导数，将 $f(x)$ 视为两个函数的乘积：令 $u(x) = x^2$，$v(x) = \ln(1+x)$。根据莱布尼茨公式，$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x)$。 首先计算 $u(x) = x^2$ 的各阶导数： - $u(x) = x^2$， - $u'(x) = 2x$， - $u''(x) = 2$， - 当 $k \ge 3$ 时，$u^{(k)}(x) = 0$。 其次计算 $v(x) = \ln(1+x)$ 的各阶导数： - $v(x) = \ln(1+x)$， - $v'(x) = \frac{1}{1+x}$， - $v''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$， - $v'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$， - 一般地，当 $m \ge 1$ 时，$v^{(m)}(x) = (-1)^{m-1} \frac{(m-1)!}{(1+x)^m}$。 由于 $u^{(k)}(x)$ 仅在 $k=0,1,2$ 时非零，因此莱布尼茨求和式中只有 $k=0,1,2$ 三项： $$f^{(n)}(x) = C_n^0 u(x) v^{(n)}(x) + C_n^1 u'(x) v^{(n-1)}(x) + C_n^2 u''(x) v^{(n-2)}(x).$$ 代入 $C_n^0=1$，$C_n^1=n$，$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$，得 $$f^{(n)}(x) = x^2 v^{(n)}(x) + n \cdot 2x \cdot v^{(n-1)}(x) + \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 \cdot v^{(n-2)}(x).$$ 化简为 $$f^{(n)}(x) = x^2 v^{(n)}(x) + 2n x v^{(n-1)}(x) + n(n-1) v^{(n-2)}(x).$$ 接下来将 $v^{(m)}(x)$ 的通项公式代入。注意 $v^{(n)}(x)$ 中 $n \ge 1$，$v^{(n-1)}(x)$ 中 $n-1 \ge 0$（当 $n=1$ 时 $v^{(0)}(x)=v(x)=\ln(1+x)$），$v^{(n-2)}(x)$ 中 $n-2 \ge 0$（当 $n=1,2$ 时需单独处理）。为得到统一表达式，通常假设 $n \ge 3$，此时 $n-2 \ge 1$，所有导数均可用通项公式。 对于 $n \ge 3$，有： - $v^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$， - $v^{(n-1)}(x) = (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{(1+x)^{n-1}}$， - $v^{(n-2)}(x) = (-1)^{n-3} \frac{(n-3)!}{(1+x)^{n-2}}$。 代入得： $$f^{(n)}(x) = x^2 \cdot (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1+x)^n} + 2n x \cdot (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{(1+x)^{n-1}} + n(n-1) \cdot (-1)^{n-3} \frac{(n-3)!}{(1+x)^{n-2}}.$$ 提取公因式 $(-1)^{n-3} \frac{(n-3)!}{(1+x)^n}$，并整理各项系数，即可得到最终表达式。此步骤完成了莱布尼茨公式的应用，将 $f^{(n)}(x)$ 表示为 $v(x)$ 及其导数的线性组合。

在本题中，已知函数 $u(x) = x^2$。为了利用泰勒公式或麦克劳林公式展开，我们需要计算 $u(x)$ 的各阶导数在 $x=0$ 处的值。 首先，计算一阶导数：$u'(x) = 2x$。 二阶导数：$u''(x) = 2$。 三阶及以上的导数：由于 $u(x)$ 是二次多项式，其三次及更高次导数均为零，即对于 $k \geq 3$，有 $u^{(k)}(x) = 0$。特别地，在 $x=0$ 处，$u(0)=0$，$u'(0)=0$，$u''(0)=2$，而 $u^{(k)}(0)=0$（$k \geq 3$）。 因此，在涉及 $u(x)$ 的求和式（例如泰勒展开式 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^{(k)}(0)}{k!} x^k$）中，只有 $k=0,1,2$ 这三项可能非零。具体地： - $k=0$ 项：$\frac{u(0)}{0!} x^0 = 0$； - $k=1$ 项：$\frac{u'(0)}{1!} x^1 = 0$； - $k=2$ 项：$\frac{u''(0)}{2!} x^2 = \frac{2}{2} x^2 = x^2$。 这一分析简化了后续计算，使得我们只需考虑 $k=0,1,2$ 的贡献，而更高阶项自动为零。

将$x=0$代入已知的幂级数展开式$u(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k$及其导数表达式中。首先，由$u(0)=0$可得$a_0=0$；由$u'(0)=0$可得$a_1=0$；由$u''(0)=2$可得$2a_2=2$，即$a_2=1$。因此，幂级数中$k=0$和$k=1$的项均为0，仅$k=2$的项非零。代入后，原方程中的求和指标从$k=2$开始有效。具体地，考虑方程$u''(x)+x u'(x)+u(x)=0$，将幂级数代入并合并同次幂系数，得到递推关系。由于$a_0=a_1=0$，$a_2=1$，则对于$k\ge 2$，递推公式为$(k+2)(k+1)a_{k+2}+k a_k+a_k=0$，即$(k+2)(k+1)a_{k+2}+(k+1)a_k=0$，化简得$a_{k+2}=-\frac{a_k}{k+2}$。由此可依次求出所有非零系数。特别地，当$k=2$时，$a_4=-\frac{a_2}{4}=-\frac{1}{4}$；当$k=4$时，$a_6=-\frac{a_4}{6}=\frac{1}{24}$，以此类推。因此，幂级数解中仅保留偶数次幂项，且所有奇次幂项系数均为零。

在步骤4中，我们已确定当$k=2$时，$u^{(k)}(0)$非零，且$u''(0)=2$，$v^{(n-2)}(0)=(\ln 2)^{n-2}\cdot 2^0$。因此，该非零项为： $$C_n^2 \cdot u''(0) \cdot v^{(n-2)}(0) = C_n^2 \cdot 2 \cdot (\ln 2)^{n-2} \cdot 2^0$$ 由于$2^0=1$，且组合数$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$，代入得： $$\frac{n(n-1)}{2} \cdot 2 \cdot (\ln 2)^{n-2} = n(n-1)(\ln 2)^{n-2}$$ 因此，所求的非零项为$n(n-1)(\ln 2)^{n-2}$。

根据前一步的递推结果，我们已经得到函数 $f(x)=2^x$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数表达式为 $f^{(n)}(0)=n(n-1)(\ln 2)^{n-2}$。现在需要验证该公式的正确性，并确认其适用范围。 首先，回顾基础：$f(x)=2^x$ 的一阶导数为 $f'(x)=2^x\ln 2$，所以 $f'(0)=\ln 2$。二阶导数为 $f''(x)=2^x(\ln 2)^2$，故 $f''(0)=(\ln 2)^2$。三阶导数为 $f'''(x)=2^x(\ln 2)^3$，因此 $f'''(0)=(\ln 2)^3$。按照一般规律，$f^{(n)}(0)=(\ln 2)^n$ 似乎更自然。但题目给出的公式 $f^{(n)}(0)=n(n-1)(\ln 2)^{n-2}$ 显然不同，这意味着题目中的 $f(x)$ 可能并非简单的 $2^x$，而是经过某种变换或复合的函数。 实际上，结合前几步的推导，我们考虑的函数是 $f(x)=x^2\cdot 2^x$ 或类似形式。例如，设 $f(x)=x^2\cdot 2^x$，则利用莱布尼茨公式求 $n$ 阶导数： $$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n} C_n^k (x^2)^{(k)} (2^x)^{(n-k)}$$ 其中 $(x^2)^{(k)}$ 当 $k=0$ 时为 $x^2$，$k=1$ 时为 $2x$，$k=2$ 时为 $2$，$k\geq 3$ 时为 $0$。$(2^x)^{(m)}=2^x(\ln 2)^m$。代入 $x=0$ 得： $$f^{(n)}(0)=C_n^0\cdot0\cdot(\ln 2)^n + C_n^1\cdot0\cdot(\ln 2)^{n-1} + C_n^2\cdot2\cdot(\ln 2)^{n-2} = n(n-1)(\ln 2)^{n-2}$$ 因此公式成立。 最终答案：$f^{(n)}(0)=n(n-1)(\ln 2)^{n-2}$，其中 $n\geq 2$。当 $n=0$ 时 $f(0)=0$，$n=1$ 时 $f'(0)=0$。