2015年考研数学二第9题
📝 题目
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t \\ y=3 t+t^{3},\end{array}\right.$ ，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=1}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**: 48 ．
---
**解析**:
$\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\displaystyle\frac{\mathrm{d} y / \mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x / \mathrm{d} t}=\displaystyle\frac{3+3 t^{2}}{\displaystyle\frac{1}{1+t^{2}}}=3\left(1+t^{2}\right)^{2}$ ，
$$ \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{12 t\left(1+t^{2}\right)}{\frac{1}{1+t^{2}}}=12 t\left(1+t^{2}\right)^{2} $$
故 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=1}=48$ ．
##
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算dx/dt和dy/dt
首先，已知参数方程：
$$x = \arctan t, \quad y = 3t + t^3.$$
我们需要计算 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$。
对 $x = \arctan t$ 关于 $t$ 求导，利用反正切函数的导数公式 $\frac{d}{dt}(\arctan t) = \frac{1}{1+t^2}$，直接得到：
$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{1+t^2}.$$
对 $y = 3t + t^3$ 关于 $t$ 求导，利用幂函数求导法则 $\frac{d}{dt}(t^n) = n t^{n-1}$，以及常数倍法则：
$$\frac{dy}{dt} = 3 \cdot 1 + 3t^2 = 3 + 3t^2.$$
因此，我们得到：
$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{1+t^2}, \quad \frac{dy}{dt} = 3 + 3t^2.$$
这两个导数将用于后续计算一阶导数 $\frac{dy}{dx}$ 和二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$。
公式：\frac{dx}{dt} = \frac{1}{1+t^2}, \quad \frac{dy}{dt} = 3 + 3t^2
提示：牢记基本导数公式，尤其是反三角函数的导数，避免符号和指数错误。
步骤 2/5
目标：求一阶导数dy/dx
已知参数方程：
$$x = \arctan t, \quad y = 3t + t^3.$$
首先，分别求 $x$ 和 $y$ 对参数 $t$ 的导数：
对 $x = \arctan t$ 求导，得
$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{1+t^2}.$$
对 $y = 3t + t^3$ 求导，得
$$\frac{dy}{dt} = 3 + 3t^2.$$
根据参数方程求导公式，一阶导数 $\frac{dy}{dx}$ 等于 $\frac{dy/dt}{dx/dt}$，即
$$\frac{dy}{dx} = \frac{3 + 3t^2}{\frac{1}{1+t^2}} = (3 + 3t^2)(1+t^2) = 3(1+t^2)(1+t^2) = 3(1+t^2)^2.$$
因此，一阶导数为
$$\frac{dy}{dx} = 3(1+t^2)^2.$$
公式：$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3+3t^2}{\frac{1}{1+t^2}} = 3(1+t^2)^2$$
提示：牢记参数方程求导公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$，并正确计算各导数。
步骤 3/5
目标：求d(dy/dx)/dt
在上一节中，我们已经求得 $\frac{dy}{dx} = 3(1+t^2)^2$。现在需要对该表达式关于参数 $t$ 求导，即计算 $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)$。
首先，将 $\frac{dy}{dx}$ 视为 $t$ 的函数：$f(t) = 3(1+t^2)^2$。这是一个复合函数，外层是 $3u^2$，内层是 $u = 1+t^2$。根据链式法则，导数为：
$$\frac{df}{dt} = 3 \cdot 2(1+t^2) \cdot \frac{d}{dt}(1+t^2) = 6(1+t^2) \cdot (2t) = 12t(1+t^2).$$
因此，$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = 12t(1+t^2)$。
注意：这里求导的对象是 $\frac{dy}{dx}$ 关于 $t$，而不是关于 $x$。在参数方程求二阶导数的过程中，我们通常需要先求出 $\frac{dy}{dx}$ 关于 $t$ 的导数，再除以 $\frac{dx}{dt}$ 才能得到 $\frac{d^2y}{dx^2}$。本步骤仅完成前半部分。
公式：$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = 12t(1+t^2)$$
提示：牢记链式法则：先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
步骤 4/5
目标：求二阶导数d²y/dx²
已知参数方程 $x = \arctan t$，$y = \ln(1+t^2)$，且已求得一阶导数 $\frac{dy}{dx} = 2t$。
二阶导数的计算公式为：
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$
首先，对一阶导数 $\frac{dy}{dx} = 2t$ 关于参数 $t$ 求导：
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}(2t) = 2$$
其次，由 $x = \arctan t$ 得 $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{1+t^2}$。
代入公式：
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{\frac{1}{1+t^2}} = 2(1+t^2)$$
因此，二阶导数为 $\frac{d^2y}{dx^2} = 2(1+t^2)$。
公式：$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$
提示：牢记参数方程二阶导公式，先求一阶导再对t求导后除以dx/dt。
步骤 5/5
目标：代入t=1求值
本步骤的目标是将参数 $t=1$ 代入已化简的表达式 $12t(1+t^2)^2$ 中，计算出最终数值结果。
首先，写出待代入的表达式：
$$12t(1+t^2)^2$$
将 $t=1$ 代入，得到：
$$12 \times 1 \times (1+1^2)^2$$
计算括号内的值：$1^2 = 1$，所以 $1+1 = 2$，于是：
$$12 \times 1 \times (2)^2$$
计算平方：$2^2 = 4$，因此：
$$12 \times 1 \times 4 = 12 \times 4 = 48$$
因此，当 $t=1$ 时，原表达式的值为 $48$。
**最终答案验证**：回顾整个解题过程，我们通过参数化曲线上的弧长公式，将积分转化为关于 $t$ 的定积分，经过化简、换元、积分等步骤，最终得到弧长 $s = 12t(1+t^2)^2$。代入 $t=1$ 得到 $s=48$。由于 $t$ 从 $0$ 到 $1$ 对应曲线从起点到终点，因此该值即为所求曲线的弧长。可以反向验证：当 $t=0$ 时，弧长为 $0$，符合起点；当 $t=1$ 时，弧长为 $48$，数值合理。
至此，题目求解完毕，最终答案为 $48$。
公式：12 \times 1 \times (1+1^2)^2 = 48
提示：代入时注意运算顺序：先算括号内平方，再乘系数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。