2015年考研数学二第8题

已知二次型在正交变换 $x=Py$ 下的标准形为 $2y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$。正交变换不改变矩阵的特征值，标准形的系数即为矩阵 $A$ 的特征值。因此，矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = -1$。 由于正交变换 $P$ 的列向量是单位正交的特征向量，且标准形中 $y_1^2$ 的系数对应第一个特征向量 $e_1$，$y_2^2$ 的系数对应第二个特征向量 $e_2$，$y_3^2$ 的系数对应第三个特征向量 $e_3$，故特征值 $2$ 对应的特征向量为 $e_1$，特征值 $1$ 对应的特征向量为 $e_2$，特征值 $-1$ 对应的特征向量为 $e_3$。 注意：特征向量的顺序与标准形中变量的顺序一致，即 $P = (e_1, e_2, e_3)$，且满足 $P^T A P = \operatorname{diag}(2, 1, -1)$。

由步骤1已知，原正交变换矩阵$P$的列向量为$e_1, e_2, e_3$，且二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$经正交变换$x=Py$化为标准形$2y_1^2+2y_2^2+2y_3^2$。现在需要构造一个新的正交变换矩阵$Q$，使得变换$x=Qz$后，二次型化为标准形$2z_1^2+2z_2^2+2z_3^2$，但要求$Q$的列向量顺序与$P$不同，且$Q$的第一列为$e_1$。 由于二次型经正交变换化为标准形时，标准形的系数（特征值）与特征向量的排列顺序无关，只要$Q$的列向量是$e_1,e_2,e_3$的某种排列（允许取相反方向，因为特征向量方向可正可负），且保持正交性，则变换后的标准形不变。题目要求$Q$的第一列为$e_1$，因此只需将$P$中剩下的两个列向量$e_2,e_3$重新排列并可能取反。 观察题目给出的新正交变换矩阵$Q=(e_1, -e_3, e_2)$，即第一列为$e_1$，第二列为$-e_3$，第三列为$e_2$。这里将原$P$的第二列$e_2$移到了第三列，原第三列$e_3$取反后作为第二列。由于$e_2$与$e_3$都是单位正交向量，且$e_1$与它们正交，因此$Q$的列向量组仍然是标准正交基，$Q$是正交矩阵。 这样，经过变换$x=Qz$，其中$z=(z_1,z_2,z_3)^T$，二次型化为$2z_1^2+2z_2^2+2z_3^2$，因为特征值均为2，与列向量顺序无关。

已知原矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=2$（对应特征向量 $e_1$）、$\lambda_2=1$（对应特征向量 $e_2$）、$\lambda_3=-1$（对应特征向量 $e_3$）。现在进行变量替换：新变量 $y_1$ 对应原基向量 $e_1$，$y_2$ 对应原基向量 $-e_3$，$y_3$ 对应原基向量 $e_2$。 由于特征向量与标量倍乘后仍为同一特征方向的特征向量，因此 $-e_3$ 仍属于特征值 $-1$ 的特征空间。故在新坐标系下，各新变量对应的特征值分别为： - $y_1$ 对应特征值 $2$（因为 $e_1$ 对应 $2$）； - $y_2$ 对应特征值 $-1$（因为 $-e_3$ 与 $e_3$ 同属特征值 $-1$ 的特征向量）； - $y_3$ 对应特征值 $1$（因为 $e_2$ 对应 $1$）。 因此，新变换矩阵 $B$ 在对角化后的对角元依次为 $2, -1, 1$，即 $$ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

在正交变换 $x=Qy$ 下，二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化为标准形。由前一步骤已求得矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=2$，$\lambda_2=-1$，$\lambda_3=1$，且对应的单位正交特征向量构成正交矩阵 $Q$。由于正交变换保持向量的长度和内积，因此在新坐标系 $y_1,y_2,y_3$ 下，二次型仅含平方项，交叉项全部消失。标准形的系数即为特征值，按特征值对应的顺序排列：第一项对应 $\lambda_1=2$，第二项对应 $\lambda_2=-1$，第三项对应 $\lambda_3=1$。因此标准形为： $$ f = 2y_1^2 + (-1)y_2^2 + 1 \cdot y_3^2 = 2y_1^2 - y_2^2 + y_3^2. $$ 注意：标准形的系数顺序与正交矩阵 $Q$ 中列向量的排列顺序一致。若 $Q$ 的第一列为对应于 $\lambda_1=2$ 的特征向量，第二列为对应于 $\lambda_2=-1$ 的特征向量，第三列为对应于 $\lambda_3=1$ 的特征向量，则上述标准形即为最终结果。该标准形已无交叉项，且各平方项的系数即为矩阵 $A$ 的全部特征值。

经过前几步的推导，我们得到了二次型在正交变换下的标准形为 $2y_1^2 - y_2^2 + y_3^2$。现在需要将该标准形与题目给出的四个选项进行对比。 选项（A）为 $2y_1^2 - y_2^2 + y_3^2$，与我们的结果完全一致。选项（B）为 $2y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$，符号顺序不同。选项（C）为 $2y_1^2 - y_2^2 - y_3^2$，第三个系数符号错误。选项（D）为 $2y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$，所有系数均为正，与我们的结果不符。 因此，正确选项为（A）。 验证：题目中二次型对应的矩阵为 $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，其特征值为 $2, 1, -1$。通过正交变换，标准形应为 $2y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$，但注意这里特征值 $1$ 和 $-1$ 对应的变量顺序可以调整，而选项（A）中 $y_2^2$ 的系数为 $-1$，$y_3^2$ 的系数为 $1$，实际上与 $2y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$ 只是变量重命名，本质相同。但题目中标准形写作 $2y_1^2 - y_2^2 + y_3^2$，即把特征值 $-1$ 对应的变量记为 $y_2$，特征值 $1$ 对应的变量记为 $y_3$，因此选项（A）正确。