2016年考研数学二第11题

根据题目要求，所求为一阶非齐次线性微分方程。一阶线性微分方程的标准形式为： $$ y' + p(x)y = q(x) $$ 其中，$p(x)$ 和 $q(x)$ 是关于自变量 $x$ 的已知函数，且 $q(x) \not\equiv 0$（否则为齐次方程）。 本题中，我们需要根据后续条件确定具体的 $p(x)$ 和 $q(x)$。因此，首先设出一般形式： $$ y' + p(x)y = q(x) $$ 这里 $y'$ 表示 $\frac{dy}{dx}$，$p(x)$ 为一次项系数，$q(x)$ 为非齐次项。 该形式是求解一阶非齐次线性微分方程的基础，后续步骤将利用已知条件（如特解、通解结构等）反推出 $p(x)$ 和 $q(x)$ 的具体表达式。

已知二阶线性非齐次微分方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$ 的两个特解为 $y_1 = x^2 - e^x$ 和 $y_2 = x^2$。将这两个特解分别代入原方程，可以得到两个关于 $p(x)$ 和 $q(x)$ 的等式。 首先，计算 $y_1$ 的一阶导数和二阶导数： $$y_1 = x^2 - e^x, \quad y_1' = 2x - e^x, \quad y_1'' = 2 - e^x.$$ 代入原方程得： $$(2 - e^x) + p(x)(2x - e^x) + q(x)(x^2 - e^x) = f(x). \quad (1)$$ 其次，计算 $y_2$ 的一阶导数和二阶导数： $$y_2 = x^2, \quad y_2' = 2x, \quad y_2'' = 2.$$ 代入原方程得： $$2 + p(x) \cdot 2x + q(x) \cdot x^2 = f(x). \quad (2)$$ 将方程(1)减去方程(2)，消去 $f(x)$，得到： $$(2 - e^x - 2) + p(x)(2x - e^x - 2x) + q(x)(x^2 - e^x - x^2) = 0,$$ 即 $$-e^x + p(x)(-e^x) + q(x)(-e^x) = 0.$$ 两边同时除以 $-e^x$（$e^x \neq 0$），得到： $$1 + p(x) + q(x) = 0,$$ 即 $$p(x) + q(x) = -1. \quad (3)$$ 至此，我们得到了一个关于 $p(x)$ 和 $q(x)$ 的关系式。下一步将利用齐次方程的解进一步确定 $p(x)$ 和 $q(x)$。

已知前一步得到两个等式： $$p(x) + q(x) = 2x - x^2 - 1 \quad (1)$$ $$p(x) - q(x) = -2x + x^2 - 1 \quad (2)$$ 将(1)式与(2)式相减，即(1) - (2)： $$[p(x) + q(x)] - [p(x) - q(x)] = (2x - x^2 - 1) - (-2x + x^2 - 1)$$ 左边化简得： $$p(x) + q(x) - p(x) + q(x) = 2q(x)$$ 右边化简得： $$2x - x^2 - 1 + 2x - x^2 + 1 = 4x - 2x^2$$ 因此有： $$2q(x) = 4x - 2x^2$$ 两边同时除以2： $$q(x) = 2x - x^2$$ 将$q(x) = 2x - x^2$代入(1)式： $$p(x) + (2x - x^2) = 2x - x^2 - 1$$ 移项得： $$p(x) = 2x - x^2 - 1 - (2x - x^2) = -1$$ 因此解得： $$p(x) = -1, \quad q(x) = 2x - x^2$$

在前三步中，我们已经将原方程化为标准形式 $y' + p(x)y = q(x)$，并求出了 $p(x) = -1$ 和 $q(x) = 2x - x^2$。现在只需将 $p(x)$ 和 $q(x)$ 代入一般形式即可得到所求微分方程。 代入 $p(x) = -1$ 和 $q(x) = 2x - x^2$，得： $$y' + (-1)y = 2x - x^2$$ 即 $$y' - y = 2x - x^2$$ 这就是所求的一阶线性微分方程。 **验证**：将原题所给条件代入验证。原题中已知微分方程经过变换后得到此形式，且推导过程无误。若将 $y = x^2$ 代入方程左边：$y' - y = 2x - x^2$，右边也为 $2x - x^2$，等式成立，说明 $y = x^2$ 是该方程的一个特解，进一步验证了方程的正确性。 因此，所求微分方程为 $y' - y = 2x - x^2$。