2016年考研数学二第10题

首先，我们面对的是极限表达式 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum\limits_{i=1}^{n} i \sin\frac{i}{n}$。为了将其转化为黎曼和的形式，我们需要将因子 $\frac{1}{n^2}$ 拆分为 $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$。这样做的目的是让其中一个 $\frac{1}{n}$ 作为黎曼和中的小区间长度 $\Delta x$，而另一个 $\frac{1}{n}$ 则与求和项中的 $i$ 结合，形成 $\frac{i}{n}$ 的形式。具体操作如下： $$\frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i \sin\frac{i}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i \sin\frac{i}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \sin\frac{i}{n}.$$ 现在，我们观察求和式 $\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \sin\frac{i}{n}$。令 $x_i = \frac{i}{n}$，则当 $i$ 从 $1$ 到 $n$ 时，$x_i$ 取区间 $[0,1]$ 上的 $n$ 个等分点（左端点或右端点，这里实际上是右端点，因为 $i=1$ 时 $x_1=1/n$，$i=n$ 时 $x_n=1$）。小区间长度 $\Delta x = \frac{1}{n}$。于是，求和式可以看作函数 $f(x) = x \sin x$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和： $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \sin\frac{i}{n} = \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}.$$ 因此，原极限转化为定积分： $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \sin\frac{i}{n} = \int_0^1 x \sin x \, dx.$$ 至此，我们成功将原和式改写为黎曼和的形式，为后续计算定积分奠定了基础。

观察极限表达式 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \sin\frac{i}{n}$，其形式为 $\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)$，其中 $f(x)=x\sin x$。根据定积分的定义，当 $n \to \infty$ 时，黎曼和 $\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)$ 收敛于函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的定积分，即 $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx.$$ 因此，原极限可转化为定积分 $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \sin\frac{i}{n} = \int_0^1 x\sin x\,dx.$$ 这一转化是求解该极限的关键步骤，后续只需计算该定积分即可得到最终结果。

本步骤的目标是计算定积分 $\int x \sin x \, dx$。我们采用分部积分法，分部积分公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。首先，令 $u = x$，$dv = \sin x \, dx$。则对 $u$ 求微分得 $du = dx$；对 $dv$ 积分得 $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$。将 $u$、$v$、$du$、$dv$ 代入分部积分公式： $$\int x \sin x \, dx = x \cdot (-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx.$$ 接下来计算 $\int \cos x \, dx$，这是一个基本积分公式，结果为 $\sin x + C$，其中 $C$ 为积分常数。因此， $$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C.$$ 至此，我们得到了不定积分的结果。若题目要求计算定积分，例如从 $a$ 到 $b$ 的定积分 $\int_a^b x \sin x \, dx$，则只需将上下限代入上述原函数： $$\int_a^b x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_a^b = (-b \cos b + \sin b) - (-a \cos a + \sin a).$$ 本步骤的关键是正确选择 $u$ 和 $dv$，并准确应用分部积分公式。注意，分部积分法适用于被积函数为两个不同类型函数乘积的情形，这里 $x$ 是幂函数，$\sin x$ 是三角函数，符合使用条件。

本步骤需要将积分上下限 $0$ 和 $1$ 代入已求出的原函数 $F(x) = -x \cos x + \sin x$ 中，并计算差值。根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分 $\int_0^1 x \sin x \, dx = F(1) - F(0)$。 首先计算 $F(1)$： $$F(1) = -1 \cdot \cos 1 + \sin 1 = -\cos 1 + \sin 1.$$ 接着计算 $F(0)$： $$F(0) = -0 \cdot \cos 0 + \sin 0 = 0 \cdot 1 + 0 = 0.$$ 因此， $$\int_0^1 x \sin x \, dx = (-\cos 1 + \sin 1) - 0 = \sin 1 - \cos 1.$$ 最终结果为 $\sin 1 - \cos 1$。由于 $\sin 1$ 和 $\cos 1$ 均为具体数值（$1$ 弧度），此结果已是最简形式，无需进一步化简。验证：当 $x=1$ 时，原函数值 $\sin 1 - \cos 1$ 减去 $x=0$ 时的 $0$，符合定积分计算规则。