2016年考研数学二第9题

首先，我们需要明确斜渐近线的定义。当自变量$x$趋于无穷大（包括正无穷和负无穷）时，如果函数$y=f(x)$的图形无限接近一条直线$y=kx+b$，且$k\neq0$，则称该直线为曲线的斜渐近线。斜渐近线的一般形式为$y=kx+b$，其中斜率$k$和截距$b$由以下极限确定： $$k=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},$$ $$b=\lim_{x\to\infty}(y-kx)=\lim_{x\to\infty}[f(x)-kx].$$ 注意，这里的极限$x\to\infty$需要分别考虑$x\to+\infty$和$x\to-\infty$，因为函数在正负无穷远处的渐近线可能不同。如果两个极限都存在且相等，则曲线有一条斜渐近线；如果只有一个方向存在，则只有一侧有斜渐近线。 在本题中，我们首先设斜渐近线为$y=kx+b$，然后按照上述公式分别计算$k$和$b$。这是求解斜渐近线的标准步骤，后续步骤将代入具体的函数表达式进行计算。

本步骤的目标是计算渐近线的斜率$k$。根据斜渐近线的定义，当$x\to\infty$时，若存在斜渐近线$y=kx+b$，则斜率$k$由极限$k=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$确定。已知函数$f(x)=\frac{x^3}{1+x^2}+\arctan(1+x^2)$，因此有： $$k=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^3}{1+x^2}+\arctan(1+x^2)}{x}$$ 将极限拆分为两项之和： $$k=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^3}{x(1+x^2)}+\frac{\arctan(1+x^2)}{x}\right)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{\arctan(1+x^2)}{x}\right)$$ 分别计算两个极限。对于第一项，分子分母同除以$x^2$： $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{1+x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{x^2}+1}=1$$ 对于第二项，由于当$x\to\infty$时，$1+x^2\to\infty$，故$\arctan(1+x^2)\to\frac{\pi}{2}$，是一个有界量，而分母$x\to\infty$，因此： $$\lim_{x\to\infty}\frac{\arctan(1+x^2)}{x}=0$$ 所以： $$k=1+0=1$$ 因此，斜渐近线的斜率为$k=1$。

根据斜渐近线的截距公式 $b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - kx]$，其中斜率 $k=1$ 已在前一步求得。将 $f(x) = \frac{x^3}{1+x^2} + \arctan(1+x^2)$ 代入，得： $$b = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{x^3}{1+x^2} + \arctan(1+x^2) - x \right]$$ 将表达式拆分为两部分： $$b = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( \frac{x^3}{1+x^2} - x \right) + \arctan(1+x^2) \right]$$ 先处理括号内的差： $$\frac{x^3}{1+x^2} - x = \frac{x^3 - x(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{x^3 - x - x^3}{1+x^2} = \frac{-x}{1+x^2}$$ 因此： $$b = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{-x}{1+x^2} + \arctan(1+x^2) \right]$$ 分别计算两个极限。第一个极限： $$\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1+x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\frac{1}{x}+x} = 0$$ 第二个极限：当 $x \to \infty$ 时，$1+x^2 \to \infty$，而 $\arctan(u) \to \frac{\pi}{2}$ 当 $u \to +\infty$，所以： $$\lim_{x \to \infty} \arctan(1+x^2) = \frac{\pi}{2}$$ 因此： $$b = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$$ 故截距 $b = \frac{\pi}{2}$。

本步骤的目标是对表达式 $\frac{x^3}{1+x^2} - x$ 进行化简，以便后续求极限。首先，将 $x$ 写成分母为 $1+x^2$ 的形式，即 $x = \frac{x(1+x^2)}{1+x^2}$。于是原式变为： $$ \frac{x^3}{1+x^2} - \frac{x(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{x^3 - x(1+x^2)}{1+x^2}. $$ 接着，展开分子中的 $x(1+x^2) = x + x^3$，代入得： $$ \frac{x^3 - (x + x^3)}{1+x^2} = \frac{x^3 - x - x^3}{1+x^2}. $$ 分子中 $x^3$ 与 $-x^3$ 相互抵消，化简为 $-x$，因此得到： $$ \frac{-x}{1+x^2}. $$ 所以，化简后的结果为 $\frac{-x}{1+x^2}$。当 $x \to \infty$ 时，分子 $-x$ 是一次项，分母 $1+x^2$ 是二次项，因此该分式趋于 $0$，即 $\frac{-x}{1+x^2} \to 0$。这一化简过程为后续求极限或积分等操作奠定了基础。

本步骤的目标是计算极限 $\lim_{x \to \infty} \arctan(1+x^2)$。首先分析内层函数 $1+x^2$ 在 $x \to \infty$ 时的趋势：由于 $x^2$ 是二次函数，当 $x$ 的绝对值无限增大时，$x^2$ 也无限增大，因此 $1+x^2 \to +\infty$。 接下来考虑外层函数 $\arctan u$ 的性质。反正切函数 $\arctan u$ 的定义域为全体实数，值域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，并且是单调递增函数。当自变量 $u \to +\infty$ 时，$\arctan u$ 趋近于其上界 $\frac{\pi}{2}$；当 $u \to -\infty$ 时，$\arctan u$ 趋近于其下界 $-\frac{\pi}{2}$。 由于 $1+x^2 \to +\infty$，根据复合函数的极限运算法则（内层函数极限为无穷大，外层函数在无穷远处有确定的极限），可得： $$ \lim_{x \to \infty} \arctan(1+x^2) = \frac{\pi}{2}. $$ 因此，该极限的值为 $\frac{\pi}{2}$。

由前一步计算得到斜率 $a = 1$，截距 $b = \lim\limits_{x \to +\infty} (y - ax) = \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \arctan x - \frac{\pi}{2} \right)$。由于 $\lim\limits_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$，因此 $b = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$。但步骤概要中给出 $b = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$，这里需要仔细核对：实际上，对于 $x \to +\infty$，$y = x + \arctan x$，则 $y - x = \arctan x$，故 $b = \lim\limits_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$。因此斜渐近线方程为 $y = x + \frac{\pi}{2}$。验证：当 $x \to +\infty$ 时，$y - (x + \frac{\pi}{2}) = \arctan x - \frac{\pi}{2} \to 0$，符合渐近线定义。最终答案为 $y = x + \frac{\pi}{2}$。