2016年考研数学二第21题

好的，我们先按题目条件先分析，然后逐步写出完整解答过程。下面我用中文书写，并用LaTeX公式呈现。

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## 题目分析

题目给我们条件：

- \( f(x) \) 在 \([0,\frac{3\pi}{2}]\) 上连续。 - 在 \((0,\frac{3\pi}{2})\) 内是函数 \(\frac{\cos x}{2x - 3\pi}\) 的一个原函数。

这意味着对 \(x\in(0,\frac{3\pi}{2})\) 有：

\[ f'(x) = \frac{\cos x}{2x - 3\pi} \]

此外 \(f(0)=0\)，待求。

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## （Ⅰ）求 \( f(x) \) 在区间上的平均值

平均值公式为：

\[ \text{平均值} = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} - 0} \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)\,dx = \frac{2}{3\pi} \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)\,dx \]

由于 \(f'(x)\) 表达式已知，考虑分部积分：

令 \[ A = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)\,dx \]

我们可以尝试把 \(f(x)\) 和它的导数联系起来。由分部积分：

\[ \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)\,dx = \left. x f(x) \right|_{0}^{\frac{3\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} x f'(x)\,dx \]

已知 \(f(0)=0\)，那么第一项变为 \(\frac{3\pi}{2}f\left(\frac{3\pi}{2}\right)\)，但也许我们不知道这个值。

另一个思路：由于 \(f\) 是某个函数的原函数，其实可以先把 \(f(x)\) 表达成积分形式，再代入。

因为 \[ f'(x) = \frac{\cos x}{2x-3\pi} \] 且 \(f(0)=0\)，所以 \[ f(x) = \int_{0}^{x} \frac{\cos t}{2t-3\pi}\, dt \]

于是：

\[ \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)\,dx = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \left( \int_{0}^{x} \frac{\cos t}{2t-3\pi}\, dt \right) dx \]

交换积分次序。区域为 \(0 \le t \le x \le \frac{3\pi}{2}\)，则变成：

\[ = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\cos t}{2t-3\pi} \left( \int_{t}^{\frac{3\pi}{2}} dx \right) dt \] \[ = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\cos t}{2t-3\pi} \left( \frac{3\pi}{2} - t \right) dt \]

于是：

\[ A = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{(\frac{3\pi}{2} - t)\cos t}{2t-3\pi}\, dt \]

注意到分母 \(2t - 3\pi = 2(t - \frac{3\pi}{2})\)，而分子 \((\frac{3\pi}{2} - t) = -(t - \frac{3\pi}{2})\)，因此：

\[ \frac{ \frac{3\pi}{2} - t}{2t - 3\pi} = \frac{-(t- \frac{3\pi}{2})}{2(t- \frac{3\pi}{2})} = -\frac{1}{2} \]

化简得：

\[ A = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} -\frac{1}{2} \cos t \, dt = -\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \cos t \, dt \]

而 \[ \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \cos t\, dt = \sin t \Big|_{0}^{\frac{3\pi}{2}} = \sin\frac{3\pi}{2} - \sin 0 = -1 - 0 = -1 \]

所以 \[ A = -\frac{1}{2} \cdot (-1) = \frac{1}{2} \]

因此平均值为：

\[ \text{平均值} = \frac{2}{3\pi} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3\pi} \]

（Ⅰ）的答案为：

\[ \boxed{\frac{1}{3\pi}} \]

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## （Ⅱ）证明 \(f(x)\) 在 \((0,\frac{3\pi}{2})\) 内存在唯一零点

我们已知：

\[ f'(x) = \frac{\cos x}{2x-3\pi} \]

先分析符号。

分母：在 \((0,\frac{3\pi}{2})\) 上，当 \(x<\frac{3\pi}{2}\)，有 \(2x - 3\pi < 0\)；因此分母恒负。

分子：\(\cos x\) 在 \((0,\frac{\pi}{2})\) 为正，在 \((\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\) 为负，在 \(\frac{\pi}{2}\) 处为 0。

因此：

- 当 \(x \in (0, \frac{\pi}{2})\)：分子正，分母负，所以 \(f'(x) < 0\)，函数严格递减； - 当 \(x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\)：分子负，分母负，所以 \(f'(x) > 0\)，函数严格递增； - 在 \(x=\frac{\pi}{2}\) 处，导数为 0，是极小值点（因为左右导数符号变化：减→增）。

因此 \(f\) 在 \((0,\frac{\pi}{2})\) 严格单调减，在 \((\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})\) 严格单调增，形状如先减后增。

现在计算几个值：

- \(f(0)=0\)（已知）； - 在点 \(\frac{\pi}{2}\) 处，由原函数表达式： \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{2t-3\pi}\, dt \] 在区间 \((0,\frac{\pi}{2})\) 上，分母为负，分子为正，所以被积函数为负，因此该积分值为负，即 \(f(\frac{\pi}{2}) < 0\)。

- 再算 \(f(\frac{3\pi}{2})\)： \[ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\cos t}{2t-3\pi}\, dt \] 但注意我们在（Ⅰ）中已算出这个积分的值实际上是 \(\frac{1}{2}\) 。我们还是验证一下：在（Ⅰ）我们知道对积分 \(\int_0^{3\pi/2} f(x)dx\) 进行交换次序后得出这个积分是原函数形式，但仔细审题： 实际上： \[ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \int_0^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\cos t}{2t-3\pi}\, dt \] 分母虽然会趋于0，但这是一个瑕积分。在 \(t\to \frac{3\pi}{2}^-\) 时，\(\cos t \to 0\)，且可以用极限判断可积。为求值，我们可以作变量代换 \(u = \frac{3\pi}{2} - t\)，则：

\[ \cos t = \cos\left(\frac{3\pi}{2}-u\right) = -\sin u \] 分母 \(2t-3\pi = -2u\)，所以 \[ \frac{\cos t}{2t-3\pi} = \frac{-\sin u}{-2u} = \frac{\sin u}{2u} \] 积分限：\(t:0\to \frac{3\pi}{2}\)，对应 \(u: \frac{3\pi}{2} \to 0\)，所以 \[ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \int_{\frac{3\pi}{2}}^{0} \frac{\sin u}{2u} (-du)?? \] 我们仔细来： \(t = \frac{3\pi}{2} - u\)，\(dt = -du\)。 当 \(t=0\)，\(u=\frac{3\pi}{2}\)；当 \(t=\frac{3\pi}{2}\)，\(u=0\)。 于是： \[ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \int_{u=\frac{3\pi}{2}}^{0} \frac{\sin u