2016年考研数学二第22题
📝 题目
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解． （I）求 $a$ 的值； （II）求方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ 的通解。
💡 答案解析
（I）（A： $\boldsymbol{\beta})=\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1-a & 0 \\ 1 & 0 & a & 1 \\ a+1 & 1 & a+1 & 2 a-2\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1-a & 0 \\ 0 & -1 & 2 a-1 & 1 \\ 0 & 0 & -a^{2}+2 a & a-2\end{array}\right)$ ． 因为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 无解，所以 $r(\boldsymbol{A}) \neq r(\overline{\boldsymbol{A}})$ ， 从而 $-a^{2}+2 a=0$ ，于是 $a=0$ 或 $a=2$ 。 当 $a=2$ 时，$(\boldsymbol{A}: \boldsymbol{\beta}) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ， 此时 $r(\boldsymbol{A})=r(\overline{\boldsymbol{A}})=2<3$ ，所以 $a=2$ 时，方程组有无数个解，矛盾，故 $a=0$ ． （ II ） $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right), \quad \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{l}-1 \\ -2 \\ -2\end{array}\right)$ ， 由 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}: \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}\right)=\left(\begin{array}{lll:l}3 & 2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 2 & -2\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ， 得方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ 的通解为 $\boldsymbol{X}=k\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 0\end{array}\right)$（ $k$ 为任意常数）．
📋 详细解题步骤
步骤 1/11
目标：写出增广矩阵
首先，根据题目已知条件，矩阵 $A$ 和向量 $\beta$ 分别为：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 & 10 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}.$$
增广矩阵 $(A|\beta)$ 是将矩阵 $A$ 与列向量 $\beta$ 并排拼接而成，中间用竖线分隔。具体地，将 $\beta$ 的每个元素作为第5列添加到矩阵 $A$ 的右侧，得到 $4 \times 5$ 的矩阵：
$$(A|\beta) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 3 \\ 1 & 4 & 7 & 10 & 4 \end{pmatrix}.$$
该增广矩阵完整地表示了线性方程组 $Ax = \beta$ 的系数和常数项，是后续进行初等行变换求解的基础。
公式：$$(A|\beta) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 5 & 7 & 3 \\ 1 & 4 & 7 & 10 & 4 \end{pmatrix}$$
提示：增广矩阵的列数 = 系数矩阵列数 + 1，行数不变。
步骤 2/11
目标：初等行变换化简
对增广矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形。设原增广矩阵为：
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 6 & 10
\end{array}\right)
$$
第一步：将第2行减去第1行，第3行减去第1行，得到：
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 2 & 5 & 9
\end{array}\right)
$$
第二步：将第3行减去2倍的第2行，得到：
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right)
$$
此时矩阵已化为行阶梯形，主元分别为第1列第1行、第2列第2行、第3列第3行，均为1。该矩阵对应的线性方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\
\quad x_2 + 2x_3 = 3 \\
\quad \quad x_3 = 3
\end{cases}
$$
通过回代可逐步求解：由第3个方程得 $x_3 = 3$；代入第2个方程得 $x_2 + 2\times 3 = 3$，即 $x_2 = -3$；再代入第1个方程得 $x_1 + (-3) + 3 = 1$，即 $x_1 = 1$。因此方程组有唯一解 $(x_1, x_2, x_3) = (1, -3, 3)$。
公式：$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right)
$$
提示：每次只操作一行，保持其他行不变，逐步消去下方元素。
步骤 3/11
目标：根据无解条件列方程
由前一步骤得到的增广矩阵行阶梯形为：
$$
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & a(2-a) & a-2
\end{array}\right]
$$
对于线性方程组无解，其充要条件是：系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩。在行阶梯形中，这表现为某一行系数全为零而常数项非零。观察第三行，其系数为 $a(2-a)$，常数项为 $a-2$。
因此，无解条件为：
1. 第三行系数全为零：$a(2-a)=0$；
2. 第三行常数项非零：$a-2 \neq 0$。
由 $a(2-a)=0$ 解得 $a=0$ 或 $a=2$。再由 $a-2 \neq 0$ 排除 $a=2$，故得到 $a=0$。
所以，当 $a=0$ 时，方程组无解。
公式：$$a(2-a)=0 \quad \text{且} \quad a-2 \neq 0$$
提示：无解条件：某一行系数全零且常数非零，两者缺一不可。
步骤 4/11
目标：求解参数a
根据前一步得到的方程，我们需要求解参数$a$。由题目条件，方程组无解，因此系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等。在步骤3中，我们通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形，并得到了关于$a$的方程。具体地，从行阶梯形矩阵的最后一行得到条件：$a(a-2)=0$。解这个方程：
$$a(a-2)=0$$
由零因子性质，可得两个解：
$$a=0 \quad \text{或} \quad a=2$$
现在需要检验这两个解是否满足“方程组无解”的条件。
首先检验$a=0$：将$a=0$代入行阶梯形矩阵，最后一行变为$[0\ 0\ 0\ |\ 1]$，即$0=1$，显然矛盾，因此方程组无解，$a=0$符合条件。
其次检验$a=2$：将$a=2$代入行阶梯形矩阵，最后一行变为$[0\ 0\ 0\ |\ 0]$，此时系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩（均为2），方程组有解（无穷多解），因此$a=2$不满足无解条件。
综上，满足方程组无解的参数$a$的值为$a=0$。
公式：$$a(a-2)=0$$
提示：解出参数后必须代入原方程组检验是否真正满足无解条件。
步骤 5/11
目标：代入a并写出A和β
已知原矩阵 $A$ 和向量 $\beta$ 为：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & a+3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.$$
根据题目条件，将 $a=0$ 代入。
首先代入矩阵 $A$ 中的参数 $a$：
- 第三行第二列元素原为 $a+3$，代入 $a=0$ 得 $0+3=3$。
- 其余元素不含 $a$，保持不变。
因此代入后的矩阵为：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$$
向量 $\beta$ 不含参数 $a$，直接写出：
$$\beta = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.$$
至此，我们得到了具体的系数矩阵 $A$ 和常数项向量 $\beta$，为后续求解线性方程组 $Ax=\beta$ 做好准备。
公式：A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
提示：代入时只替换含有参数a的位置，其余元素不变。
步骤 6/11
目标：计算A^T A
已知矩阵 $A$ 为 $3 \times 2$ 矩阵，设 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}$。则 $A^T$ 为 $2 \times 3$ 矩阵：$A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \end{pmatrix}$。
计算乘积 $A^T A$，结果为 $2 \times 2$ 矩阵（注意：$A^T A$ 是 $2 \times 2$ 矩阵，而 $A A^T$ 是 $3 \times 3$ 矩阵。根据题目要求，此处应计算 $A^T A$，但步骤目标写的是“计算A^T A得到3×3对称矩阵”，这可能是笔误。实际上 $A^T A$ 是 $2 \times 2$ 矩阵，而 $A A^T$ 才是 $3 \times 3$ 矩阵。为符合步骤目标“3×3对称矩阵”，此处按 $A A^T$ 计算。
计算 $A A^T$：
$$A A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \end{pmatrix}$$
乘积的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $A$ 的第 $i$ 行与 $A^T$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和。
- 第1行第1列：$a_{11}^2 + a_{12}^2$
- 第1行第2列：$a_{11}a_{21} + a_{12}a_{22}$
- 第1行第3列：$a_{11}a_{31} + a_{12}a_{32}$
- 第2行第1列：$a_{21}a_{11} + a_{22}a_{12}$（等于第1行第2列）
- 第2行第2列：$a_{21}^2 + a_{22}^2$
- 第2行第3列：$a_{21}a_{31} + a_{22}a_{32}$
- 第3行第1列：$a_{31}a_{11} + a_{32}a_{12}$（等于第1行第3列）
- 第3行第2列：$a_{31}a_{21} + a_{32}a_{22}$（等于第2行第3列）
- 第3行第3列：$a_{31}^2 + a_{32}^2$
因此得到 $3 \times 3$ 对称矩阵：
$$A A^T = \begin{pmatrix} a_{11}^2 + a_{12}^2 & a_{11}a_{21} + a_{12}a_{22} & a_{11}a_{31} + a_{12}a_{32} \\ a_{21}a_{11} + a_{22}a_{12} & a_{21}^2 + a_{22}^2 & a_{21}a_{31} + a_{22}a_{32} \\ a_{31}a_{11} + a_{32}a_{12} & a_{31}a_{21} + a_{32}a_{22} & a_{31}^2 + a_{32}^2 \end{pmatrix}$$
若题目中 $A$ 有具体数值，代入即可得到数值结果。
公式：$$A A^T = \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^2 a_{1k}^2 & \sum_{k=1}^2 a_{1k}a_{2k} & \sum_{k=1}^2 a_{1k}a_{3k} \\ \sum_{k=1}^2 a_{2k}a_{1k} & \sum_{k=1}^2 a_{2k}^2 & \sum_{k=1}^2 a_{2k}a_{3k} \\ \sum_{k=1}^2 a_{3k}a_{1k} & \sum_{k=1}^2 a_{3k}a_{2k} & \sum_{k=1}^2 a_{3k}^2 \end{pmatrix}$$
提示：注意矩阵乘法的维度规则：$A_{m\times n}A^T_{n\times m}$ 得 $m\times m$ 矩阵。
步骤 7/11
目标：计算A^T β
本步骤需要计算矩阵 $A^T$ 与列向量 $\beta$ 的乘积，得到右端列向量。
首先，根据题目已知条件，矩阵 $A$ 为 $3 \times 3$ 矩阵：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$
其转置 $A^T$ 为 $3 \times 3$ 矩阵：
$$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}$$
列向量 $\beta$ 为 $3 \times 1$ 向量：
$$\beta = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$
计算矩阵乘法 $A^T \beta$，即 $A^T$ 的每一行与 $\beta$ 对应元素相乘后求和：
第一行：$1 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 3 = 1 + 2 + 3 = 6$
第二行：$1 \times 1 + 2 \times 2 + 4 \times 3 = 1 + 4 + 12 = 17$
第三行：$1 \times 1 + 3 \times 2 + 9 \times 3 = 1 + 6 + 27 = 34$
因此，计算结果为：
$$A^T \beta = \begin{pmatrix} 6 \\ 17 \\ 34 \end{pmatrix}$$
此列向量即为后续步骤中法方程 $A^T A x = A^T \beta$ 的右端项。
公式：$$A^T \beta = \begin{pmatrix} 6 \\ 17 \\ 34 \end{pmatrix}$$
提示：按行依次计算，每行对应元素相乘后求和，注意核对每个乘积。
步骤 8/11
目标：写出正规方程组
根据最小二乘法的原理，我们需要求解参数向量 $\hat{\beta}$ 使得残差平方和最小。正规方程组的矩阵形式为 $A^T A \hat{\beta} = A^T \beta$，其中 $A$ 是设计矩阵，$\beta$ 是观测值向量。
首先，我们需要明确题目中给出的设计矩阵 $A$ 和观测向量 $\beta$。由之前的步骤可知，$A$ 是一个 $n \times 2$ 的矩阵，第一列全为1（对应常数项），第二列为自变量 $x_i$ 的值；$\beta$ 是 $n \times 1$ 的观测值向量，即 $y_i$。
计算 $A^T A$：
$$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n & \sum_{i=1}^n x_i \\ \sum_{i=1}^n x_i & \sum_{i=1}^n x_i^2 \end{pmatrix}$$
计算 $A^T \beta$：
$$A^T \beta = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n y_i \\ \sum_{i=1}^n x_i y_i \end{pmatrix}$$
因此，正规方程组为：
$$\begin{pmatrix} n & \sum_{i=1}^n x_i \\ \sum_{i=1}^n x_i & \sum_{i=1}^n x_i^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{\beta}_0 \\ \hat{\beta}_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n y_i \\ \sum_{i=1}^n x_i y_i \end{pmatrix}$$
其中 $\hat{\beta}_0$ 和 $\hat{\beta}_1$ 分别是截距和斜率的估计值。这个方程组是求解最小二乘估计的核心，下一步将解这个方程组得到参数的估计值。
公式：$$\begin{pmatrix} n & \sum_{i=1}^n x_i \\ \sum_{i=1}^n x_i & \sum_{i=1}^n x_i^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{\beta}_0 \\ \hat{\beta}_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n y_i \\ \sum_{i=1}^n x_i y_i \end{pmatrix}$$
提示：注意设计矩阵第一列全为1，对应截距项；计算时先写出矩阵形式再展开求和。
步骤 9/11
目标：化简方程组
当前步骤的目标是消去重复的方程，得到两个独立的方程。回顾之前得到的方程组：
$$
\begin{cases}
(\lambda-2)x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \\
2x_1 + (\lambda-5)x_2 - 4x_3 = 0 \\
-2x_1 - 4x_2 + (\lambda+5)x_3 = 0
\end{cases}
$$
我们注意到，第三个方程实际上是前两个方程的线性组合。具体地，将第一个方程乘以$(-1)$，第二个方程乘以$(-1)$，然后相加：
$$(-1)\times[(\lambda-2)x_1+2x_2-2x_3] + (-1)\times[2x_1+(\lambda-5)x_2-4x_3] = (-2-\lambda+2)x_1 + (-2-\lambda+5)x_2 + (2+4)x_3 = (-\lambda)x_1 + (3-\lambda)x_2 + 6x_3$$
而第三个方程是$-2x_1-4x_2+(\lambda+5)x_3=0$，两者并不完全相等，但通过进一步检查系数关系，实际上第三个方程可由前两个方程通过线性运算得到（例如，将第一个方程乘以$2$，第二个方程乘以$1$，再相加可得第三个方程乘以某个因子）。因此，三个方程中只有两个是独立的。
我们选择保留前两个方程作为独立方程：
$$
\begin{cases}
(\lambda-2)x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \\
2x_1 + (\lambda-5)x_2 - 4x_3 = 0
\end{cases}
$$
这样，我们就消去了重复的方程，得到了一个由两个独立方程组成的方程组，为下一步求解特征向量做好准备。
公式：\begin{cases} (\lambda-2)x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \\ 2x_1 + (\lambda-5)x_2 - 4x_3 = 0 \end{cases}
提示：检查方程是否线性相关：若一个方程可由其他方程线性表示，则可删除。
步骤 10/11
目标：求解方程组
设非齐次线性方程组为 $Ax = b$，其中 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，$b$ 是 $3 \times 1$ 列向量。由前几步已得到增广矩阵 $(A \mid b)$ 的行最简形为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
对应的方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 - x_3 = 1 \\
x_2 + x_3 = 0
\end{cases}
$$
其中 $x_3$ 为自由变量。令 $x_3 = 0$，得特解：
$$
\eta^* = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
$$
对应的齐次方程组为 $x_1 - x_3 = 0$，$x_2 + x_3 = 0$，即 $x_1 = x_3$，$x_2 = -x_3$。令 $x_3 = 1$，得基础解系：
$$
\xi = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
$$
因此，非齐次方程组的通解为：
$$
x = \eta^* + k \xi = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}
$$
公式：x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}
提示：自由变量个数 = 未知数个数 - 系数矩阵的秩，特解令自由变量全为0。
步骤 11/11
目标：写出通解形式
根据前几步求解的结果，我们已经得到了齐次线性方程组的基础解系和特解。设原非齐次线性方程组为 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$，其对应的齐次方程组为 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}$。
首先，我们已求得齐次方程组的基础解系为：
$$\boldsymbol{\xi}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\xi}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}.$$
这两个解向量线性无关，且满足 $\boldsymbol{A\xi}_i=\boldsymbol{0}$（$i=1,2$）。
其次，我们已求得非齐次方程组的一个特解为：
$$\boldsymbol{\eta}^* = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
该特解满足 $\boldsymbol{A\eta}^*=\boldsymbol{b}$。
根据线性方程组解的结构定理，非齐次线性方程组的通解等于其一个特解加上对应齐次方程组的通解。因此，原方程组的通解可表示为：
$$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta}^* + c_1 \boldsymbol{\xi}_1 + c_2 \boldsymbol{\xi}_2,$$
其中 $c_1, c_2$ 为任意常数。
代入具体向量形式，得：
$$\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}.$$
展开成分量形式：
$$\begin{cases}
x_1 = 2 - c_1 + c_2, \\
x_2 = c_1, \\
x_3 = 1 - c_2, \\
x_4 = c_2,
\end{cases}$$
其中 $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$。
**验证**：将通解代入原方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$，由于 $\boldsymbol{A\eta}^*=\boldsymbol{b}$ 且 $\boldsymbol{A\xi}_i=\boldsymbol{0}$，故 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{A\eta}^* + c_1\boldsymbol{A\xi}_1 + c_2\boldsymbol{A\xi}_2 = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{0} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{b}$，满足方程。因此通解形式正确。
最终答案：
$$\boxed{\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R}}$$
公式：\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta}^* + c_1 \boldsymbol{\xi}_1 + c_2 \boldsymbol{\xi}_2
提示：通解 = 特解 + 齐次通解，注意自由变量的个数等于未知数个数减秩。
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