💡 答案解析
**答案**: $x y \mathrm{e}^{y}$ ．
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**解析**:
方法一 由 $\mathrm{d} f(x, y)=y \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+x(1+y) \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} y=\mathrm{d}\left(x y \mathrm{e}^{y}\right)$ ，得 $f(x, y)=x y \mathrm{e}^{y}+C$ ，再由 $f(0,0)=0$ ，得 $C=0$ ，故 $f(x, y)=x y \mathrm{e}^{y}$ 。
方法二 $\quad \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=y \mathrm{e}^{y}, \quad \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=x(1+y) \mathrm{e}^{y}$ ，
由 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=y \mathrm{e}^{y}$ 得 $f(x, y)=\displaystyle\int y \mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x=x y \mathrm{e}^{y}+C$ ，
再由 $f(0,0)=0$ 得 $C=0$ ，故 $f(x, y)=x y \mathrm{e}^{y}$ 。
📋 详细解题步骤
目标：识别全微分并建立偏导数关系
题目中给出一个全微分形式：$df = y e^y dx + x(1+y)e^y dy$。根据全微分的定义，若函数 $f(x,y)$ 可微，则其全微分为 $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$。因此，我们可以直接比较系数，得到偏导数关系：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = y e^y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x(1+y)e^y.$$
注意，这里 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 只含有 $y$，不含 $x$，这提示我们对 $x$ 积分时，$f(x,y)$ 应具有形式 $f(x,y) = x y e^y + \varphi(y)$，其中 $\varphi(y)$ 是仅依赖于 $y$ 的函数。同时，由 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 的表达式可以进一步确定 $\varphi(y)$。这一步的关键是正确识别全微分形式，并建立两个偏导数的等式关系，为后续积分求解 $f(x,y)$ 做好准备。
公式：\frac{\partial f}{\partial x} = y e^y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x(1+y)e^y
提示：直接比较全微分表达式中的系数即可得到偏导数，注意区分变量。
目标：对其中一个偏导数积分求原函数
已知函数 $f(x,y)$ 满足 $f_x(x,y) = y e^y$，且 $f_y(x,y) = x e^y + x y e^y$。
对 $f_x$ 关于 $x$ 积分，将 $y$ 视为常数：
$$f(x,y) = \int f_x(x,y) \, dx = \int y e^y \, dx = x y e^y + g(y)$$
其中 $g(y)$ 是仅依赖于 $y$ 的待定函数。
接下来，利用 $f_y$ 的条件确定 $g(y)$。对上述表达式关于 $y$ 求偏导：
$$f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( x y e^y + g(y) \right) = x e^y + x y e^y + g'(y)$$
与已知的 $f_y(x,y) = x e^y + x y e^y$ 比较，可得：
$$x e^y + x y e^y + g'(y) = x e^y + x y e^y$$
消去相同项后得到 $g'(y) = 0$，因此 $g(y) = C$，$C$ 为常数。
于是原函数为：
$$f(x,y) = x y e^y + C$$
此步骤完成了对偏导数的积分，并利用另一个偏导数确定了待定函数，得到了含有任意常数 $C$ 的原函数表达式。
公式：$$f(x,y) = \int f_x \, dx = x y e^y + g(y)$$
提示：对偏导数积分时，将其他变量视为常数，并加上一个仅关于其他变量的待定函数。
目标：利用另一个偏导数确定待定函数并代入初始条件
由前两步已知，函数 $f(x,y)$ 满足 $f_x = y e^y$，积分得 $f(x,y) = x y e^y + g(y)$，其中 $g(y)$ 为待定函数。对 $f$ 关于 $y$ 求偏导：
$$
f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( x y e^y + g(y) \right) = x e^y + x y e^y + g'(y) = x e^y (1 + y) + g'(y).
$$
已知条件中 $f_y = x e^y (1 + y)$，比较得 $g'(y) = 0$，故 $g(y) = C$（常数）。代入初始条件 $f(0,0) = 0$：
$$
f(0,0) = 0 \cdot 0 \cdot e^0 + C = 0 \quad \Rightarrow \quad C = 0.
$$
因此 $g(y) = 0$，最终得到 $f(x,y) = x y e^y$。
验证：计算 $f_x = y e^y$，$f_y = x e^y + x y e^y = x e^y (1+y)$，且 $f(0,0)=0$，满足所有条件。
公式：f(x,y) = x y e^y
提示：比较 $f_y$ 时注意将含 $g'(y)$ 的项与已知表达式逐项对照。