2017年考研数学二第13题

首先，根据题目给出的积分表达式，积分区域由变量 $y$ 和 $x$ 的上下限确定。外层积分变量为 $y$，积分下限为 $0$，上限为 $1$；内层积分变量为 $x$，积分下限为 $y$，上限为 $1$。因此，积分区域 $D$ 可以描述为： $$ D = \{ (x, y) \mid 0 \leq y \leq 1, \ y \leq x \leq 1 \}. $$ 这是一个平面区域，在 $xy$ 坐标系中，$y$ 的取值范围是从 $0$ 到 $1$，对于每一个固定的 $y$，$x$ 从直线 $x = y$ 变化到直线 $x = 1$。因此，区域 $D$ 是由三条直线围成的三角形： - 直线 $x = y$（从点 $(0,0)$ 到 $(1,1)$）， - 直线 $x = 1$（垂直线）， - 直线 $y = 0$（水平线）。 为了画出草图，我们在平面直角坐标系中标记出这三条边界线： 1. 画出 $y$ 轴和 $x$ 轴，并标出刻度 $0$ 和 $1$。 2. 画出直线 $x = y$，这是一条通过原点且斜率为 $1$ 的直线。 3. 画出直线 $x = 1$，这是一条过点 $(1,0)$ 且平行于 $y$ 轴的直线。 4. 画出直线 $y = 0$，即 $x$ 轴。 这三条直线相交形成一个直角三角形，其顶点分别为： - 点 $A(0,0)$（原点）， - 点 $B(1,0)$（$x$ 轴与 $x=1$ 的交点）， - 点 $C(1,1)$（直线 $x=y$ 与 $x=1$ 的交点）。 因此，积分区域是一个以 $x$ 轴、直线 $x=1$ 和直线 $x=y$ 为边的直角三角形。在草图中，通常用阴影线标出该区域，并注明边界方程。注意，区域内的点满足 $y \leq x$，即位于直线 $x=y$ 的上方（因为 $x$ 大于等于 $y$，所以区域在直线 $x=y$ 的右侧）。 识别积分区域是后续交换积分次序或直接计算积分的基础，务必确保边界描述准确。

原积分为 $\int_0^1 dy \int_y^1 f(x) dx$，其积分区域由不等式 $0 \le y \le 1$ 和 $y \le x \le 1$ 描述。在 $xy$ 平面上，该区域为：对于每个固定的 $y$，$x$ 从 $y$ 到 $1$，即区域是由直线 $x=y$、$x=1$ 和 $y=0$ 围成的三角形区域。为了交换积分次序，需要将区域描述为 $x$ 型区域：先固定 $x$，再确定 $y$ 的范围。由 $y \le x$ 且 $0 \le y \le 1$，同时 $x$ 从 $0$ 到 $1$，可得 $0 \le y \le x$。因此交换次序后的积分为 $\int_0^1 dx \int_0^x f(x) dy$。注意内层积分对 $y$ 积分时，被积函数 $f(x)$ 与 $y$ 无关，因此 $\int_0^x f(x) dy = f(x) \int_0^x dy = f(x) \cdot x$。于是原积分化为 $\int_0^1 x f(x) dx$。

当前步骤需要计算内层积分 $\int_{0}^{x} dy$。该积分是对变量 $y$ 进行积分，积分限为从 $0$ 到 $x$，被积函数为 $1$。根据定积分的基本公式，$\int_{a}^{b} 1 \, dy = b - a$，因此： $$\int_{0}^{x} dy = x - 0 = x.$$ 这里 $x$ 被视为常数（因为积分变量是 $y$），所以结果直接等于 $x$。这个结果将作为外层积分的被积函数，即下一步要计算 $\int_{0}^{1} x \, dx$。

在上一节中，我们已将二重积分化为累次积分，并完成了内层积分的计算，得到外层积分表达式为： $$ \int_0^1 \left( \int_x^1 \frac{\tan y}{y} \, dy \right) dx = \int_0^1 \frac{\tan x}{x} \cdot x \, dx = \int_0^1 \tan x \, dx. $$ 现在需要计算定积分 $\int_0^1 \tan x \, dx$。 首先，回忆 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，因此 $$ \int_0^1 \tan x \, dx = \int_0^1 \frac{\sin x}{\cos x} \, dx. $$ 令 $u = \cos x$，则 $du = -\sin x \, dx$，即 $\sin x \, dx = -du$。当 $x=0$ 时，$u=\cos 0 = 1$；当 $x=1$ 时，$u=\cos 1$。于是积分变为 $$ \int_0^1 \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \int_{1}^{\cos 1} \frac{1}{u} \cdot (-du) = -\int_{1}^{\cos 1} \frac{1}{u} \, du = \int_{\cos 1}^{1} \frac{1}{u} \, du. $$ 计算该积分： $$ \int_{\cos 1}^{1} \frac{1}{u} \, du = \ln|u| \Big|_{\cos 1}^{1} = \ln 1 - \ln(\cos 1) = 0 - \ln(\cos 1) = -\ln(\cos 1). $$ 由于 $\cos 1 > 0$，绝对值符号可去掉。因此 $$ \int_0^1 \tan x \, dx = -\ln(\cos 1). $$ 也可以写成 $\ln(\sec 1)$，因为 $\sec 1 = 1/\cos 1$，所以 $-\ln(\cos 1) = \ln(1/\cos 1) = \ln(\sec 1)$。 至此，外层定积分计算完成，结果为 $-\ln(\cos 1)$。

在第四步中，我们已经得到了定积分 $\int_0^1 \tan x \, dx$ 的原函数为 $-\ln|\cos x|$。现在需要代入积分上下限进行计算。 根据牛顿-莱布尼茨公式，有： $$ \int_0^1 \tan x \, dx = \left[ -\ln|\cos x| \right]_0^1 = -\ln|\cos 1| - \left( -\ln|\cos 0| \right) = -\ln(\cos 1) + \ln(\cos 0). $$ 由于 $\cos 0 = 1$，且 $\ln 1 = 0$，因此上式简化为： $$ \int_0^1 \tan x \, dx = -\ln(\cos 1) + 0 = -\ln(\cos 1). $$ 注意：在区间 $[0,1]$ 上，$\cos x > 0$，所以绝对值符号可以去掉。最终结果即为 $-\ln(\cos 1)$。 **验证**：我们可以通过数值计算来验证结果的正确性。计算 $\int_0^1 \tan x \, dx$ 的近似值：$\tan x$ 在 $[0,1]$ 上的积分约为 $0.6156$。而 $-\ln(\cos 1) \approx -\ln(0.5403) \approx 0.6156$，两者一致，说明结果正确。 因此，定积分 $\int_0^1 \tan x \, dx$ 的值为 $-\ln(\cos 1)$。