2017年考研数学二第1题
📝 题目
若函数 $f(x)= \begin{cases}\displaystyle\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x\gt 0, \\ b, & x \leqslant 0\end{cases}$ $\text { 在 } x=0 \text { 处连续，则 }$
A
$a b=\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
B
$a b=-\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
C
$a b=0$.
D
$a b=2$ ．
💡 答案解析
**答案**: （A）．
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**解析**:
解 由 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，得 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=b$ ．又 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{x}{2 a x}=\displaystyle\frac{1}{2 a}=b$ ．
所以 $a b=\displaystyle\frac{1}{2}$ ．故应选 A．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出连续条件
已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。根据函数在一点连续的定义，函数在该点的极限值等于该点的函数值。由于题目中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有定义，且 $f(0)=b$，因此连续条件为：
$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = b.$$
但需要注意，$f(x)$ 在 $x=0$ 处可能为分段函数，因此需要分别考虑左极限和右极限。由于题目未明确给出左极限信息，通常我们考虑右极限（因为 $x \to 0$ 时可能从右侧趋近）。因此，连续条件具体写为：
$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = b.$$
这一步是后续求解参数 $b$ 的基础。通过计算右极限的值，并令其等于 $b$，即可得到 $b$ 的取值。
公式：\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = b
提示：连续条件即极限值等于函数值，注意区分左右极限。
步骤 2/4
目标：计算右极限
我们需要计算右极限 $\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos \sqrt{x}}{a x}$。由于 $x \to 0^+$ 时，$\sqrt{x} \to 0$，因此可以利用等价无穷小替换。当 $u \to 0$ 时，$1 - \cos u \sim \frac{1}{2} u^2$。这里 $u = \sqrt{x}$，所以 $1 - \cos \sqrt{x} \sim \frac{1}{2} (\sqrt{x})^2 = \frac{1}{2} x$。将等价无穷小代入原极限：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos \sqrt{x}}{a x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2} x}{a x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2a} = \frac{1}{2a}.
$$
因此，右极限的值为 $\frac{1}{2a}$。注意，这里 $a$ 是常数且 $a \neq 0$（否则分母为零，极限无意义）。
公式：$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos \sqrt{x}}{a x} = \frac{1}{2a}$$
提示：注意等价无穷小替换时，必须确保替换的变量趋于0，且替换后极限存在。
步骤 3/4
目标：建立等式并求解
根据步骤2的分析，函数在$x=0$处连续，因此左极限必须等于右极限。左极限为$\lim_{x \to 0^-} f(x) = b$，右极限为$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{2a}$。由连续性的定义，有：
$$
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)
$$
由于$f(0)=b$，因此得到等式：
$$
b = \frac{1}{2a}
$$
接下来求解该等式。两边同时乘以$2a$（注意$a \neq 0$，否则右极限无意义），得：
$$
2ab = 1
$$
即：
$$
ab = \frac{1}{2}
$$
这个等式建立了参数$a$与$b$之间的关系。注意，此时我们只有一个方程，但有两个未知数，因此无法唯一确定$a$和$b$的具体数值，只能得到它们之间的乘积关系。后续步骤需要利用其他条件（如可导性）来进一步求解。
公式：$$b = \frac{1}{2a} \quad \Rightarrow \quad ab = \frac{1}{2}$$
提示：注意连续性条件给出的是乘积关系，不是具体数值，后续还需利用可导性。
步骤 4/4
目标：选择正确选项
根据前几步的计算结果，我们已得到 $ab = \frac{1}{2}$。题目给出的四个选项中，只有选项（A）的值为 $\frac{1}{2}$，因此正确选项为（A）。
**验证**：将 $ab = \frac{1}{2}$ 代入原题条件，检查是否满足所有给定关系。例如，若原题中涉及曲线 $y = ax^2 + bx + c$ 在点 $(1,1)$ 处的切线斜率为 $2$，且曲线过点 $(0,1)$，则可得方程组：
$$
\begin{cases}
c = 1 \\
a + b + c = 1 \\
2a + b = 2
\end{cases}
$$
解得 $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$，此时 $ab = 0$，与本题不符。本题实际条件不同，但最终推导结果 $ab = \frac{1}{2}$ 是经过严谨计算得到的，且与选项（A）吻合。
因此，本题的正确答案是（A）。
公式：ab = \frac{1}{2}
提示：计算完成后，将结果与选项逐一比对，注意分数与小数形式的转换。
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