2017年考研数学二第2题

已知函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f''(x)>0$ 对所有 $x\in[-1,1]$ 成立。由二阶导数的符号可知，$f(x)$ 是严格下凸函数（即凸函数，图形向下凸）。同时已知三个点的函数值：$f(-1)=1$，$f(0)=-1$，$f(1)=1$。这三个点不共线，因为若三点共线，则 $f(0)$ 应为 $f(-1)$ 和 $f(1)$ 的线性插值，即 $\frac{f(-1)+f(1)}{2}=1$，但实际 $f(0)=-1$，故三点不共线。 由于 $f''(x)>0$，函数图形是向下凸的，即对于任意 $x_10$，$f(0)=-1<0$，$f(1)=1>0$，根据连续函数的零点定理，$f(x)$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 内各至少有一个零点。又因为凸函数至多有两个零点，所以 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 内各恰有一个零点。 此外，由 $f''(x)>0$ 可知 $f'(x)$ 严格单调递增。$f(-1)=1$，$f(0)=-1$，$f(1)=1$ 表明函数先减后增，因此存在唯一的极小值点（即 $f'(x)=0$ 的点）位于 $(-1,1)$ 内，且该极小值点就是 $f(x)$ 的最小值点。由于 $f(0)=-1$ 是已知三点中的最小值，但 $0$ 不一定就是极小值点，需要后续步骤进一步判断。 本步骤的核心是明确 $f(x)$ 是严格下凸函数，并利用已知三点值推断出函数在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 内各有一个零点，且函数图形先下降后上升。

方法一：构造二次函数特例。设所求函数为 $f(x)=ax^2+bx+c$，由已知条件：$f(0)=-1$，$f(1)=1$，$f(2)=7$。代入得方程组： $$\begin{cases} c = -1 \\ a+b+c = 1 \\ 4a+2b+c = 7 \end{cases}$$ 将 $c=-1$ 代入后两式： $$\begin{cases} a+b-1=1 \Rightarrow a+b=2 \\ 4a+2b-1=7 \Rightarrow 4a+2b=8 \Rightarrow 2a+b=4 \end{cases}$$ 两式相减得 $(2a+b)-(a+b)=4-2$，即 $a=2$，代入 $a+b=2$ 得 $b=0$。因此 $f(x)=2x^2-1$。该函数为下凸二次函数（$a=2>0$），满足题目中三点坐标。 方法二：几何分析。在平面直角坐标系中描出三点 $A(0,-1)$、$B(1,1)$、$C(2,7)$。观察可知，$x$ 从0到1时，$y$ 增加2；$x$ 从1到2时，$y$ 增加6。增量逐渐增大，表明函数图像是下凸的（二阶导数大于0）。连接 $AB$ 和 $BC$ 的弦，可见曲线位于弦的下方（下凸曲线），且 $B$ 点处的切线斜率介于 $AB$ 和 $BC$ 的斜率之间。通过几何直观，可以判断该函数具有下凸性质，且可进一步验证其导数单调递增。

方法一：直接计算积分。计算定积分 $\int_{-1}^{1} (2x^2 - 1) \, dx$。首先求原函数：$\int (2x^2 - 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 - x$。代入上下限： $$\left[\frac{2}{3}x^3 - x\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{2}{3} \cdot 1^3 - 1\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot (-1)^3 - (-1)\right) = \left(\frac{2}{3} - 1\right) - \left(-\frac{2}{3} + 1\right) = \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3} < 0.$$ 由于被积函数 $2x^2 - 1$ 是偶函数，积分区间关于原点对称，因此 $\int_{-1}^{0} (2x^2 - 1) \, dx = \int_{0}^{1} (2x^2 - 1) \, dx$。计算其中一个： $$\int_{0}^{1} (2x^2 - 1) \, dx = \left[\frac{2}{3}x^3 - x\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}.$$ 所以左右区间积分均为 $-\frac{1}{3}$，总和为 $-\frac{2}{3}$。 方法二：观察图像。函数 $y = 2x^2 - 1$ 是开口向上的抛物线，顶点在 $(0, -1)$，与 $x$ 轴交于 $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。在区间 $[-1, 1]$ 上，曲线在 $x$ 轴下方（$|x| < \frac{\sqrt{2}}{2}$）的部分面积大于上方（$|x| > \frac{\sqrt{2}}{2}$）的部分面积，且图形关于 $y$ 轴对称，因此总积分值为负。

根据前几步的计算，我们得到以下两个关键结论： 1. 定积分 $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx < 0$，即函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的整体积分值为负数。 2. 函数 $f(x)$ 在对称区间上的积分满足 $\int_{-1}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx$，即左右两半的积分值相等。 现在对照四个选项： - 选项A：$\int_{-1}^{1} f(x) \, dx > 0$。这与结论1矛盾，故排除。 - 选项B：$\int_{-1}^{1} f(x) \, dx < 0$ 且 $\int_{-1}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx$。这与两个结论完全吻合，故B正确。 - 选项C：$\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0$。这与结论1矛盾，故排除。 - 选项D：$\int_{-1}^{0} f(x) \, dx > \int_{0}^{1} f(x) \, dx$。这与结论2矛盾，故排除。 因此，最终答案为选项B。 **验证**：由于 $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{1} f(x) \, dx$，且两半相等，故整体积分等于 $2 \int_{0}^{1} f(x) \, dx$。由结论1知整体积分小于0，所以 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx < 0$，进而 $\int_{-1}^{0} f(x) \, dx < 0$，即左右两半均为负数且相等，与选项B的描述一致。