2017年考研数学二第3题

选项(A)的表述为：若数列$x_n$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\sin x_n=0$，则$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$。我们需要判断该命题是否正确。\n\n已知条件：$\lim\limits_{n\to\infty}\sin x_n=0$。由函数极限与数列极限的关系，若$\sin x$在$x=A$处连续，且$x_n\to A$，则$\lim\sin x_n=\sin A$。但这里我们并不知道$x_n$是否收敛，因此不能直接使用该性质。然而，我们可以先假设$x_n$收敛于某个常数$A$，那么由$\sin x$的连续性可得$\sin A=0$，从而$A=k\pi$（$k$为整数）。$A=0$只是$k=0$时的特例，并非必然。\n\n为了否定该命题，只需构造一个反例：取$x_n=\pi$（常数数列），则$\sin x_n=\sin\pi=0$，显然$\lim\limits_{n\to\infty}\sin x_n=0$，但$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\pi\neq0$。因此选项(A)错误。\n\n更一般的反例：取$x_n=n\pi$，则$\sin(n\pi)=0$，极限为0，但$x_n$发散，极限不存在，更谈不上等于0。因此选项(A)不成立。

选项(B)的命题为：若$\lim_{n\to\infty}(x_n+\sqrt{|x_n|})=0$，则$\lim_{n\to\infty}x_n=0$。 首先，设$\lim_{n\to\infty}x_n=A$（假设极限存在），则对等式两边取极限，由极限的四则运算法则及$\sqrt{|x_n|}$的连续性（$x_n\to A$时$\sqrt{|x_n|}\to\sqrt{|A|}$），得到$A+\sqrt{|A|}=0$。 解方程$A+\sqrt{|A|}=0$： - 若$A>0$，则$\sqrt{|A|}>0$，左边$A+\sqrt{|A|}>0$，不可能为0； - 若$A<0$，则$\sqrt{|A|}>0$，左边$A+\sqrt{|A|}=A+\sqrt{-A}$，由于$A<0$而$\sqrt{-A}>0$，且$A+\sqrt{-A}=0$可化为$\sqrt{-A}=-A$，两边平方得$-A=A^2$，即$A^2+A=0$，解得$A=0$或$A=-1$。但$A=-1$代入原方程：$-1+\sqrt{1}=0$，成立。故$A=-1$也是一个解。 - 若$A=0$，显然满足。 因此，若极限存在，则$A$可能为$0$或$-1$，不能直接推出$A=0$，故(B)不一定成立。 进一步构造反例：取常数列$x_n=-1$（$n=1,2,\ldots$），则$x_n+\sqrt{|x_n|}=-1+1=0$，极限为$0$，但$\lim x_n=-1\neq 0$。因此(B)错误。 注意：若$x_n$的极限不存在，也可能出现反例，但上述常数列反例已足够说明(B)为假命题。

选项(C)的表述为：若$\lim_{n \to \infty} (x_n + x_n^2) = 0$，则$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$。 我们对此进行判断。设数列$\{x_n\}$的极限存在，记$\lim_{n \to \infty} x_n = A$。由极限的四则运算法则，对已知条件两边取极限，得： $$\lim_{n \to \infty} (x_n + x_n^2) = A + A^2 = 0.$$ 因此$A(A+1)=0$，解得$A=0$或$A=-1$。 可见，极限$A$不一定为$0$，也可能为$-1$。为了说明选项(C)不成立，我们构造一个反例：取常数列$x_n = -1$（对所有$n$成立）。此时 $$x_n + x_n^2 = -1 + (-1)^2 = -1 + 1 = 0,$$ 故$\lim_{n \to \infty} (x_n + x_n^2) = 0$，但$\lim_{n \to \infty} x_n = -1 \neq 0$。因此选项(C)是错误的。 注意：本题中数列极限的存在性并未事先假定，但即使假设极限存在，结论也不成立；若极限不存在，则更无法推出极限为$0$。因此选项(C)为假。