2017年考研数学二第4题

首先，题目给出的微分方程是$y''-4y'+8y=e^{2x}(1+\sin 2x)$。这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程。为了求解该方程，我们通常先求解对应的齐次方程的通解，再求非齐次方程的一个特解，最后叠加得到原方程的通解。\n\n第一步，写出齐次方程：$y''-4y'+8y=0$。对于二阶常系数齐次线性微分方程$y''+py'+qy=0$，其特征方程为$\lambda^2+p\lambda+q=0$。这里$p=-4$，$q=8$，因此特征方程为：\n$$\lambda^2-4\lambda+8=0$$\n\n接下来求解特征根。使用一元二次方程的求根公式：\n$$\lambda=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot8}}{2\cdot1}=\frac{4\pm\sqrt{16-32}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{4\pm4i}{2}=2\pm2i$$\n\n因此，特征根为一对共轭复根：$\lambda_1=2+2i$，$\lambda_2=2-2i$。

原方程的非齐次项为 $e^{2x}(1+\cos 2x)$。根据线性微分方程的叠加原理，可将该非齐次项拆分为两个子项之和： $$e^{2x}(1+\cos 2x)=e^{2x}+e^{2x}\cos 2x.$$ 因此，原非齐次线性微分方程可分解为两个子方程： 1. 第一个子方程的非齐次项为 $f_1(x)=e^{2x}$； 2. 第二个子方程的非齐次项为 $f_2(x)=e^{2x}\cos 2x$。 分别分析两个子项对应的特解形式： - 对于 $f_1(x)=e^{2x}$，其指数 $\lambda=2$。需要判断 $\lambda=2$ 是否为特征方程的根。若特征方程有单根 $r=2$，则特解形式为 $y_{p1}=Axe^{2x}$；若为重根，则需乘以 $x^2$；若 $\lambda=2$ 不是特征根，则特解形式为 $y_{p1}=Ae^{2x}$。 - 对于 $f_2(x)=e^{2x}\cos 2x$，属于 $e^{\alpha x}\cos\beta x$ 型，其中 $\alpha=2,\ \beta=2$。对应的特征根形式为 $\alpha\pm i\beta=2\pm 2i$。需要判断 $2\pm 2i$ 是否为特征方程的根。若 $2\pm 2i$ 是特征根（单根或重根），则特解形式为 $y_{p2}=xe^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$ 或 $y_{p2}=x^2e^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$；若不是特征根，则特解形式为 $y_{p2}=e^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$。 通过拆分，原方程的特解可表示为 $y_p=y_{p1}+y_{p2}$，从而将复杂非齐次项转化为两个简单形式分别处理，便于后续利用待定系数法求解。

首先，回顾原非齐次微分方程的形式。题目中非齐次项包含两个子项：$e^{2x}$ 和 $\cos x$。本步骤专门处理第一个子项 $e^{2x}$ 对应的特解形式。 我们已经求得对应齐次方程的特征方程为 $r^2 - 3r + 2 = 0$，特征根为 $r_1 = 1$，$r_2 = 2$。因此齐次通解为 $y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}$。 现在考虑非齐次项 $e^{2x}$。根据线性微分方程的特解设定原则，对于形如 $P_m(x) e^{\alpha x}$ 的非齐次项（此处 $P_m(x)=1$ 为0次多项式，$\alpha=2$），特解形式应设为 $x^k Q_m(x) e^{\alpha x}$，其中 $k$ 是特征根 $\alpha$ 在特征方程中出现的重数，$Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次的多项式。 这里 $\alpha = 2$，而特征根 $r=2$ 恰好是单根（重数 $k=1$）。因此，$e^{2x}$ 对应的特解应乘以 $x^1$，即设为 $y_{p1} = A x e^{2x}$，其中 $A$ 为待定常数。 注意：如果 $\alpha$ 不是特征根，则 $k=0$，特解直接设为 $A e^{2x}$。但此处 $\alpha=2$ 与特征根 $r=2$ 重合，所以必须乘以 $x$ 以避免与齐次解中的 $e^{2x}$ 线性相关。 因此，本步骤的结论是：子项 $e^{2x}$ 对应的特解形式为 $y_{p1} = A x e^{2x}$。

首先，分析非齐次项中的子项 $e^{2x}\cos 2x$。该子项对应的特征根形式为 $\alpha \pm i\beta$，其中 $\alpha = 2$，$\beta = 2$。回顾齐次方程的特征方程，已求得特征根为 $r = 2 \pm 2i$。因此，子项 $e^{2x}\cos 2x$ 中的指数部分 $e^{2x}$ 和三角函数部分 $\cos 2x$ 所对应的复数特征根 $2 \pm 2i$ 恰好与齐次方程的特征根完全重合。 根据常系数线性非齐次微分方程特解设定的“共振”原则：当非齐次项中的指数与三角函数组合所对应的特征根与齐次特征根重合时，需要在特解形式中乘以 $x$ 以消除共振。具体地，对于形如 $e^{\alpha x}(P_m(x)\cos\beta x + Q_n(x)\sin\beta x)$ 的非齐次项，若 $\alpha \pm i\beta$ 是 $k$ 重特征根，则特解应设为 $x^k e^{\alpha x}(R_l(x)\cos\beta x + S_l(x)\sin\beta x)$，其中 $l = \max(m,n)$。 本题中，子项 $e^{2x}\cos 2x$ 可视为 $e^{2x}(1\cdot\cos 2x + 0\cdot\sin 2x)$，即 $m = 0$，$n = 0$，$l = 0$。由于 $2 \pm 2i$ 是单重特征根（$k=1$），因此特解形式需乘以 $x^1$，且多项式部分为常数（$l=0$）。故该子项对应的特解应设为： $$y_p = x e^{2x}(B\cos 2x + C\sin 2x)$$ 其中 $B$ 和 $C$ 为待定常数。注意，虽然原非齐次项只有 $\cos 2x$，但特解中必须同时包含 $\cos 2x$ 和 $\sin 2x$ 项，因为微分运算会使两者相互耦合。

在前面的步骤中，我们已经分别求出了对应于特征根 $\lambda_1=2$（单根）和 $\lambda_{2,3}=2\pm2i$（共轭复根）的两个子特解形式。 对于特征根 $\lambda_1=2$（单根），其对应的非齐次项 $f_1(x)=e^{2x}$ 的指数与特征根重合，故子特解形式为 $y_1^*=Axe^{2x}$。 对于共轭复根 $\lambda_{2,3}=2\pm2i$，其对应的非齐次项 $f_2(x)=e^{2x}\cos2x$ 的指数 $2$ 与实部相同，且 $\cos2x$ 对应虚部 $\pm2$，因此该非齐次项完全与特征根重合，故子特解形式为 $y_2^*=xe^{2x}(B\cos2x+C\sin2x)$。 根据线性微分方程解的叠加原理，原方程的非齐次项 $f(x)=e^{2x}+e^{2x}\cos2x$ 对应的特解等于两个子特解之和，即 $$y^*=y_1^*+y_2^*=Axe^{2x}+xe^{2x}(B\cos2x+C\sin2x).$$ 注意到 $y_1^*$ 中已经含有因子 $x$，而 $y_2^*$ 中也含有因子 $x$，两者合并后整体特解形式为 $$y^*=xe^{2x}\bigl[A+(B\cos2x+C\sin2x)\bigr].$$ 对比题目给出的四个选项，该形式与选项 (C) 完全一致。因此，本题的正确选项为 (C)。 最终验证：将 $y^*$ 代入原微分方程，通过待定系数法可确定常数 $A,B,C$ 的具体值，但本题只要求写出特解的形式，故到此步骤完成。