2007年考研数学一第2题

首先，分析函数 $f(x)$ 的定义域。函数在 $x=0$ 处无定义，因为分母为零。因此，$x=0$ 是可能的铅直渐近线。接下来，计算当 $x$ 趋近于 $0$ 时函数值的极限： $$ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x} - 1}. $$ 当 $x \to 0$ 时，分母中的 $\sqrt{1+x} - 1 \sim \frac{1}{2}x$，因此 $$ f(x) \sim \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}x} = \frac{2}{x^2}. $$ 于是 $$ \lim_{x \to 0} f(x) = \infty. $$ 由于极限为无穷大，根据铅直渐近线的定义，直线 $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的铅直渐近线。

当$x \to -\infty$时，考虑函数$f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 1}$。为求水平渐近线，需计算极限$\lim_{x \to -\infty} f(x)$。 将分子分母同时除以$x^2$（最高次幂）： $$ f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}}. $$ 当$x \to -\infty$时，$\frac{1}{x^2} \to 0$，因此： $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2. $$ 注意：此处极限值为2，而非0。题目步骤概要中给出的$\lim_{x\to -\infty}f(x)=0$有误，正确极限应为2。因此，当$x \to -\infty$时，存在水平渐近线$y = 2$。 验证：取$x = -100$，$f(-100) = \frac{2\cdot 10000 + 1}{10000 - 1} = \frac{20001}{9999} \approx 2.0002$，趋近于2。

当$x\to +\infty$时，我们首先计算斜渐近线的斜率$k$，即求极限$\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}$。由题目已知函数$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$，则 $$ \frac{f(x)}{x}=\frac{x^2+1}{x(x-1)}=\frac{x^2+1}{x^2-x}. $$ 分子分母同除以$x^2$，得 $$ \frac{f(x)}{x}=\frac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}. $$ 当$x\to +\infty$时，$\frac{1}{x^2}\to 0$，$\frac{1}{x}\to 0$，因此 $$ \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=1. $$ 故斜率$k=1$。 接下来计算截距$b$，即求极限$\lim_{x\to +\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-x]$。代入$f(x)$得 $$ f(x)-x=\frac{x^2+1}{x-1}-x=\frac{x^2+1-x(x-1)}{x-1}=\frac{x^2+1-(x^2-x)}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}. $$ 分子分母同除以$x$，得 $$ f(x)-x=\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}. $$ 当$x\to +\infty$时，$\frac{1}{x}\to 0$，因此 $$ \lim_{x\to +\infty}[f(x)-x]=1. $$ 故截距$b=1$。 因此，当$x\to +\infty$时，曲线$y=f(x)$有斜渐近线$y=x+1$。注意：步骤概要中给出的截距为0，但实际计算得1，此处以正确计算为准。

前几步已求出该曲线的所有渐近线： - 水平渐近线：$y = 0$（当$x \to -\infty$时） - 斜渐近线：$y = x$（当$x \to +\infty$时） - 垂直渐近线：$x = 0$（因为$x=0$是函数的一个间断点，且当$x \to 0$时函数值趋于无穷） 现在统计渐近线的总条数。三条渐近线均存在且互不相同，因此渐近线总条数为3。 对应选项为(D)。 最终验证： - 水平渐近线$y=0$：当$x \to -\infty$时，函数$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{e^x - 1}$，第一项趋于0，第二项趋于0（因为$e^x \to 0$，$e^x-1 \to -1$，故$\frac{1}{e^x-1} \to -1$？此处需重新检查：实际上当$x \to -\infty$时，$e^x \to 0$，$e^x-1 \to -1$，所以$\frac{1}{e^x-1} \to -1$，而$\frac{1}{x} \to 0$，因此$f(x) \to -1$，并非0。但题目中给出的水平渐近线应为$y=-1$？此处需根据原题函数确认。原题函数为$f(x)=\frac{1}{x} + \frac{1}{e^x-1}$，当$x \to -\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{1}{e^x-1} \to -1$，故$f(x) \to -1$，所以水平渐近线是$y=-1$。 - 斜渐近线$y=x$：当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{1}{e^x-1} \to 0$，故$f(x) \to 0$？实际上$f(x)$在$x \to +\infty$时趋于0，所以水平渐近线$y=0$才对。但题目中又说有斜渐近线$y=x$？这似乎矛盾。 重新审视：原题函数应为$f(x)=\frac{1}{x} + \frac{1}{e^x-1}$，其渐近线分析如下： - 当$x \to 0$时，$\frac{1}{x} \to \infty$，$\frac{1}{e^x-1} \sim \frac{1}{x}$，故$f(x) \sim \frac{2}{x} \to \infty$，所以$x=0$是垂直渐近线。 - 当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{1}{e^x-1} \to 0$，故$f(x) \to 0$，所以$y=0$是水平渐近线（右侧）。 - 当$x \to -\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\frac{1}{e^x-1} \to -1$，故$f(x) \to -1$，所以$y=-1$是水平渐近线（左侧）。 因此共有三条渐近线：$x=0$，$y=0$，$y=-1$。条数为3，对应选项(D)。