2007年考研数学一第3题

首先，根据题目给出的图形信息，函数$f(x)$的定义域关于原点对称（区间为$[-3,3]$）。观察图形： - 在区间$[-3,-2]$上，$f(x)$的图像是上半圆（即$f(x)\geq 0$）； - 在区间$[2,3]$上，$f(x)$的图像是下半圆（即$f(x)\leq 0$）； - 在区间$[-2,0]$上，$f(x)$的图像是下半圆（即$f(x)\leq 0$）； - 在区间$[0,2]$上，$f(x)$的图像是上半圆（即$f(x)\geq 0$）。 进一步分析对称性：对于任意$x\in[-3,3]$，将$x$替换为$-x$，观察对应函数值的关系。例如，取$x=1$，则$f(1)$为上半圆上的正值；$-x=-1$，$f(-1)$为下半圆上的负值，且绝对值相等。类似地，取$x=2.5$，$f(2.5)$为下半圆上的负值；$-x=-2.5$，$f(-2.5)$为上半圆上的正值，绝对值也相等。因此，对于定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$成立。 从几何直观上看，整个图形关于原点$(0,0)$中心对称：将图形绕原点旋转$180^\circ$后与原图形重合。这正是奇函数的图像特征。 因此，可以判定$f(x)$是奇函数。

已知函数$f(x)$是奇函数，即对任意$x$有$f(-x) = -f(x)$。定义$F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$。要判断$F(x)$的奇偶性，我们考察$F(-x)$与$F(x)$的关系。 计算$F(-x) = \int_0^{-x} f(t)\,dt$。令$u = -t$，则$t = -u$，$dt = -du$。当$t = 0$时$u = 0$；当$t = -x$时$u = x$。于是 $$ F(-x) = \int_0^{-x} f(t)\,dt = \int_0^{x} f(-u)\,(-du) = \int_0^{x} (-f(u))\,(-du) = \int_0^{x} f(u)\,du = F(x). $$ 这里用到了$f(-u) = -f(u)$（奇函数性质）。因此$F(-x) = F(x)$对所有$x$成立，故$F(x)$是偶函数。 由偶函数的性质，有$F(-3) = F(3)$，$F(-2) = F(2)$。这一结论将在后续步骤中用于简化定积分的计算。

根据题目定义，$F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$，其中$f(t)$是已知函数。本步骤需要计算$F(2)$，即$F(2)=\int_0^2 f(t)\,dt$。 由$f(t)$的图形可知，在区间$[0,2]$上，$f(t)$的图形是直径为2的上半圆。该上半圆的圆心位于$(1,0)$，半径为$1$。因此，积分$\int_0^2 f(t)\,dt$的几何意义是曲线$y=f(t)$在$t$从$0$到$2$区间上与$t$轴所围成的面积，即该上半圆的面积。 半径为$1$的圆的面积为$\pi \cdot 1^2 = \pi$，上半圆的面积为该圆面积的一半，即$\frac{\pi}{2}$。因此， $$ F(2)=\int_0^2 f(t)\,dt = \frac{\pi}{2}. $$ 注意：此处$f(t)$在$[0,2]$上非负，且积分直接对应面积，无需分段计算。

我们需要计算 $F(3) = \int_0^3 f(t) \, dt$。已知 $f(t)$ 的图形由两部分组成：在区间 $[0,2]$ 上，$f(t)$ 是半径为1的上半圆，其面积为 $\frac{\pi}{2}$；在区间 $[2,3]$ 上，$f(t)$ 是直径为1的下半圆，半径为 $0.5$，面积为 $\frac{\pi}{8}$，但由于是下半圆，函数值为负，因此该部分积分为 $-\frac{\pi}{8}$。于是 $$ F(3) = \int_0^2 f(t) \, dt + \int_2^3 f(t) \, dt = \frac{\pi}{2} + \left(-\frac{\pi}{8}\right) = \frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}. $$ 因此，$F(3) = \frac{3\pi}{8}$。

由偶函数性质可知，$F(-3)=F(3)=\frac{3\pi}{8}$，$F(-2)=F(2)=\frac{\pi}{2}$。将这两个值分别代入四个选项进行验证。 选项(A)：$F(-3)=\frac{3\pi}{8}$，而$-\frac{3}{4}F(-2)=-\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=-\frac{3\pi}{8}$，两者不相等，故(A)错误。 选项(B)：$F(-3)=\frac{3\pi}{8}$，而$\frac{5}{4}F(-2)=\frac{5}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{8}$，两者不相等，故(B)错误。 选项(C)：$F(-3)=\frac{3\pi}{8}$，而$\frac{3}{4}F(-2)=\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{8}$，两者相等，故(C)成立。 选项(D)：$F(-3)=\frac{3\pi}{8}$，而$-\frac{5}{4}F(-2)=-\frac{5}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=-\frac{5\pi}{8}$，两者不相等，故(D)错误。 因此，正确选项为(C)。