2018年考研数学二第1题

题目要求计算极限 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x + ax^2 + bx}{1} \right)^{1/x^2}$，并已知该极限等于1。首先观察极限的类型：当 $x \to 0$ 时，底数部分 $e^x + ax^2 + bx$ 趋向于 $e^0 + 0 + 0 = 1$，而指数 $1/x^2$ 趋向于无穷大，因此该极限属于 $1^\infty$ 型未定式。对于 $1^\infty$ 型极限，常用的方法是利用公式：若 $\lim u(x) = 1$，$\lim v(x) = \infty$，且 $\lim [u(x)-1]v(x)$ 存在，则 $\lim u(x)^{v(x)} = e^{\lim [u(x)-1]v(x)}$。更一般地，有 $\lim u(x)^{v(x)} = e^{\lim v(x) \ln u(x)}$，而 $\ln u(x) \sim u(x)-1$（当 $u(x) \to 1$）。 将原极限改写为 $\lim_{x \to 0} \left( 1 + (e^x + ax^2 + bx - 1) \right)^{1/x^2}$。令 $A(x) = e^x + ax^2 + bx - 1$，则当 $x \to 0$ 时 $A(x) \to 0$。根据 $1^\infty$ 型极限公式，有： $$\lim_{x \to 0} \left( 1 + A(x) \right)^{1/x^2} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{A(x)}{x^2}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{e^x + ax^2 + bx - 1}{x^2}}.$$ 题目已知该极限等于1，即 $e^{\lim_{x \to 0} \frac{e^x + ax^2 + bx - 1}{x^2}} = 1$。由于指数函数 $e^y$ 在 $y=0$ 处取值为1，且 $e^y$ 是单调函数，因此上式等价于指数部分极限为0，即： $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + ax^2 + bx - 1}{x^2} = 0.$$ 至此，我们将原极限问题转化为一个关于 $a$ 和 $b$ 的极限等式，为后续利用泰勒展开或洛必达法则求解参数奠定了基础。

本步骤的目标是将函数 $e^x$ 在 $x=0$ 处展开到二阶，即写出带有佩亚诺余项的泰勒公式。 根据泰勒公式，若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处具有 $n$ 阶导数，则 $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n).$$ 对于 $f(x)=e^x$，其各阶导数均为 $e^x$，因此 $$f(0)=1,\quad f'(0)=1,\quad f''(0)=1.$$ 代入二阶泰勒公式得 $$e^x = 1 + 1\cdot x + \frac{1}{2!}x^2 + o(x^2) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2).$$ 这里 $o(x^2)$ 表示当 $x\to 0$ 时比 $x^2$ 高阶的无穷小量。该展开式在后续步骤中用于化简极限表达式中的分子或分母，从而消除不定式。

将上一步得到的展开式代入分子。已知分子为 $\ln(1+x) - (ax + bx^2)$，且 $\ln(1+x)$ 的展开式为 $x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$。代入得： $$ \ln(1+x) - (ax + bx^2) = \left[x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)\right] - (ax + bx^2). $$ 去括号，注意负号要分配给每一项： $$ = x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2) - ax - bx^2. $$ 现在合并同类项。先合并 $x$ 项：$x - ax = (1 - a)x$。再合并 $x^2$ 项：$-\frac{1}{2}x^2 - bx^2 = -\left(\frac{1}{2} + b\right)x^2$。高阶无穷小 $o(x^2)$ 保持不变。因此得到： $$ (1 - a)x - \left(\frac{1}{2} + b\right)x^2 + o(x^2). $$ 注意题目步骤目标中给出的形式为 $(1/2+a)x^2 + (1+b)x + o(x^2)$，这里符号有所不同，请根据实际题目条件核对。若题目中分子为 $\ln(1+x) - (ax + bx^2)$，则合并结果应为 $(1-a)x - (\frac{1}{2}+b)x^2 + o(x^2)$。若题目中分子为 $\ln(1+x) - (ax - bx^2)$ 或其他形式，则符号会相应调整。此处按照标准推导，得到上述表达式。

由前一步骤，我们已经将极限表达式展开为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{(1+b)x + \left(\frac{1}{2}+a\right)x^2 + o(x^2)}{x^2} = 0. $$ 由于分母是$x^2$，分子必须为比$x^2$更高阶的无穷小，即分子中$x$项和$x^2$项的系数必须同时为零。 首先，令$x$项的系数为零： $$ 1 + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -1. $$ 其次，令$x^2$项的系数为零： $$ \frac{1}{2} + a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{1}{2}. $$ 由此得到方程组： $$ \begin{cases} 1 + b = 0, \\ \dfrac{1}{2} + a = 0. \end{cases} $$ 解得$a = -\frac{1}{2}$，$b = -1$。 此时，分子变为$o(x^2)$，即比$x^2$更高阶的无穷小，因此整个极限为$0$。