2018年考研数学二第2题

首先明确选项A对应的函数为$f(x)=|x|\sin|x|$。我们需要判断该函数在$x=0$处是否可导。根据导数的定义，函数在$x=0$处可导当且仅当左导数与右导数存在且相等。 计算右导数：当$x\to 0^+$时，$|x|=x$，且$\sin|x|=\sin x$，因此$f(x)=x\sin x$。右导数为 $$ f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x\sin x-0}{x}=\lim_{x\to 0^+}\sin x=0. $$ 计算左导数：当$x\to 0^-$时，$|x|=-x$，且$\sin|x|=\sin(-x)=-\sin x$，因此$f(x)=(-x)\cdot(-\sin x)=x\sin x$。左导数为 $$ f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{x\sin x-0}{x}=\lim_{x\to 0^-}\sin x=0. $$ 由于左右导数均等于0，且相等，故$f(x)=|x|\sin|x|$在$x=0$处可导，且导数为0。因此选项A是可导的。

选项B给出的函数为$f(x)=|x|\sin\sqrt{|x|}$。要判断该函数在$x=0$处的可导性，需分别计算左导数和右导数，并检查它们是否相等。 首先计算右导数（$x\to0^+$）。当$x>0$时，$|x|=x$，$\sqrt{|x|}=\sqrt{x}$，因此$f(x)=x\sin\sqrt{x}$。利用导数定义： $$f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{x\sin\sqrt{x}}{x}=\lim_{x\to0^+}\sin\sqrt{x}=0.$$ 再计算左导数（$x\to0^-$）。当$x<0$时，$|x|=-x$，$\sqrt{|x|}=\sqrt{-x}$，因此$f(x)=(-x)\sin\sqrt{-x}$。注意此时$x$为负，故$f(x)-f(0)=(-x)\sin\sqrt{-x}-0$，分母为$x$（负值）。左导数为： $$f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{(-x)\sin\sqrt{-x}}{x}=\lim_{x\to0^-}\left(-\sin\sqrt{-x}\right)=\lim_{t\to0^+}\left(-\sin\sqrt{t}\right)=0,$$ 其中令$t=-x$，则当$x\to0^-$时$t\to0^+$。 由于$f'_+(0)=f'_-(0)=0$，左右导数相等，因此$f(x)=|x|\sin\sqrt{|x|}$在$x=0$处可导，且导数为0。故选项B是可导的。

选项C给出的函数为 $f(x)=\cos|x|$。首先利用余弦函数的偶函数性质：对于任意实数 $x$，有 $\cos|x|=\cos x$。因此 $f(x)$ 实际上就是 $\cos x$，这是一个在整个实数域上光滑（无穷次可导）的函数。特别地，在 $x=0$ 处，$\cos x$ 的导数为 $-\sin x$，代入 $x=0$ 得 $f'(0)=-\sin 0=0$。所以 $f(x)=\cos|x|$ 在 $x=0$ 处可导，且导数为 $0$。 为了更严谨地验证，也可以从导数的定义出发： $$ f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{\cos|h|-\cos 0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\cos|h|-1}{h}. $$ 由于 $\cos|h|=\cos h$，上式化为 $$ \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-2\sin^2(h/2)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-2\cdot(h/2)^2}{h}=0, $$ 其中用到了等价无穷小 $\sin(h/2)\sim h/2$。因此左右导数相等，均为 $0$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。 选项C的结论是“在 $x=0$ 处不可导”，这与上述推导矛盾，因此选项C错误。

分析选项D：$f(x)=\cos\sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 处的可导性。 首先计算右导数，即 $x\to0^+$ 时的导数极限： $$ f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{\cos\sqrt{x}-\cos0}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{\cos\sqrt{x}-1}{x}. $$ 令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$，当 $x\to0^+$ 时 $t\to0^+$，于是 $$ \lim_{x\to0^+}\frac{\cos\sqrt{x}-1}{x}=\lim_{t\to0^+}\frac{\cos t-1}{t^2}. $$ 利用等价无穷小 $1-\cos t\sim\frac{1}{2}t^2$，得 $\cos t-1\sim -\frac{1}{2}t^2$，所以 $$ \lim_{t\to0^+}\frac{-\frac{1}{2}t^2}{t^2}=-\frac{1}{2}. $$ 因此右导数为 $f'_+(0)=-\frac{1}{2}$。 再计算左导数，即 $x\to0^-$ 时的导数极限。当 $x<0$ 时，$|x|=-x$，故 $\sqrt{|x|}=\sqrt{-x}$。 $$ f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{\cos\sqrt{-x}-\cos0}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{\cos\sqrt{-x}-1}{x}. $$ 令 $t=\sqrt{-x}$，则 $x=-t^2$，当 $x\to0^-$ 时 $t\to0^+$，于是 $$ \lim_{x\to0^-}\frac{\cos\sqrt{-x}-1}{x}=\lim_{t\to0^+}\frac{\cos t-1}{-t^2}=\lim_{t\to0^+}\frac{-\frac{1}{2}t^2}{-t^2}=\frac{1}{2}. $$ 因此左导数为 $f'_-(0)=\frac{1}{2}$。 由于左右导数不相等（$f'_+(0)=-\frac{1}{2}\neq f'_-(0)=\frac{1}{2}$），所以函数 $f(x)=\cos\sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 处不可导。 最终结论：选项D中的函数在 $x=0$ 处不可导，故应选D。