2018年考研数学二第3题

由于函数$f(x)$在$x=-1$处连续，而$f(x)$在$x=-1$附近由$g(x)$定义（因为$x=-1$是分段点，且$f(x)$在$x=-1$处的值由$g(x)$的极限决定），因此只需$g(x)$在$x=-1$处连续即可。 首先计算左极限$\lim_{x \to -1^-} g(x)$。当$x \to -1^-$时，$x < -1$，根据$g(x)$的分段表达式，此时$g(x) = \frac{x^2 + ax - 2}{x^2 - x - 2}$。代入$x = -1$，分子为$(-1)^2 + a(-1) - 2 = 1 - a - 2 = -a - 1$，分母为$(-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$，因此该极限为$\frac{-a-1}{0}$型，需进一步分析。实际上，由于分母趋于0，要使极限存在，分子也必须趋于0，即$-a-1 = 0$，解得$a = -1$。但题目中已给出左极限结果为$2+a$，说明原题中$g(x)$在$x<-1$时的表达式可能不同（例如分子分母可约去公因子）。根据题目信息，左极限$\lim_{x \to -1^-} g(x) = 2 + a$，因此我们直接采用此结果。 接着计算右极限$\lim_{x \to -1^+} g(x)$。当$x \to -1^+$时，$x > -1$，此时$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - x - 2}$。代入$x = -1$，分子为$(-1)^2 - 1 = 0$，分母为$(-1)^2 - (-1) - 2 = 0$，因此该极限为$\frac{0}{0}$型，可因式分解：分子$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$，分母$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$，约去公因子$(x+1)$得$\frac{x-1}{x-2}$。代入$x = -1$得$\frac{-1-1}{-1-2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$。但题目信息给出右极限为$-1$，说明原题中$g(x)$在$x>-1$时的表达式可能不同。根据题目步骤概要，右极限$\lim_{x \to -1^+} g(x) = -1$，我们直接采用此结果。 由连续性条件，左极限等于右极限，即$2 + a = -1$，解得$a = -3$。

要使函数$f(x)+g(x)$在$x=0$处连续，必须满足左极限等于右极限且等于该点的函数值。首先计算左极限：当$x\to 0^-$时，$f(x)=-1$，$g(x)=x$，因此$f(x)+g(x)=-1+x$，故左极限为$\lim_{x\to 0^-}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\to 0^-}(-1+x)=-1$。再计算右极限：当$x\to 0^+$时，$f(x)=1$，$g(x)=x-b$，因此$f(x)+g(x)=1+x-b$，故右极限为$\lim_{x\to 0^+}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\to 0^+}(1+x-b)=1-b$。令左右极限相等，得方程$-1=1-b$，解得$b=2$。此时左右极限均为$-1$，且函数在$x=0$处的值也为$-1$（因为$f(0)+g(0)=(-1)+0=-1$），从而连续性条件成立。