2018年考研数学二第4题

首先，根据题目要求，将函数 $f(x)$ 在 $x=\frac{1}{2}$ 处展开到二阶，并带有拉格朗日余项。泰勒展开的一般形式为： $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(\xi)}{2!}(x-x_0)^2$$ 其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间。这里取 $x_0 = \frac{1}{2}$，因此展开式为： $$f(x) = f\left(\frac{1}{2}\right) + f'\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right) + \frac{f''(\xi)}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$$ 其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $\frac{1}{2}$ 之间。这个展开式将用于后续步骤中分析函数在 $x=\frac{1}{2}$ 附近的性态。注意，这里只写出展开式的结构，具体的函数值 $f\left(\frac{1}{2}\right)$、$f'\left(\frac{1}{2}\right)$ 以及 $f''(\xi)$ 需要根据题目给出的具体函数 $f(x)$ 代入计算。在本题中，$f(x)$ 的具体形式将在后续步骤中给出，因此本步骤仅完成展开式的形式化表达。

对第一步得到的泰勒展开式 $$f(x) = f\left(\frac12\right) + f'\left(\frac12\right)\left(x-\frac12\right) + \frac12 f''(\xi)\left(x-\frac12\right)^2$$ 两边在区间$[0,1]$上积分，得 $$\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 f\left(\frac12\right)dx + \int_0^1 f'\left(\frac12\right)\left(x-\frac12\right)dx + \frac12\int_0^1 f''(\xi)\left(x-\frac12\right)^2dx.$$ 计算各项积分： 1. 第一项：$\int_0^1 f\left(\frac12\right)dx = f\left(\frac12\right)\cdot(1-0) = f\left(\frac12\right)$。 2. 第二项：$\int_0^1 \left(x-\frac12\right)dx = \left[\frac12\left(x-\frac12\right)^2\right]_0^1 = \frac12\left(\frac14 - \frac14\right) = 0$，因此该项为$f'\left(\frac12\right)\cdot0 = 0$。 3. 第三项：$\frac12\int_0^1 f''(\xi)\left(x-\frac12\right)^2dx$，其中$\xi$依赖于$x$，积分保留原形式。 由已知条件$\int_0^1 f(x)\,dx = 0$，代入得 $$0 = f\left(\frac12\right) + 0 + \frac12\int_0^1 f''(\xi)\left(x-\frac12\right)^2dx.$$ 整理即得 $$0 = f\left(\frac12\right) + f'\left(\frac12\right)\int_0^1\left(x-\frac12\right)dx + \frac12\int_0^1 f''(\xi)\left(x-\frac12\right)^2dx.$$

在上一阶段，我们得到了等式： $$\int_0^1 (x-\frac{1}{2}) f'(x) dx = f(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx$$ 其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $\frac{1}{2}$ 之间。现在我们的目标是消去等式左边的一阶导数项。注意到等式左边含有因子 $(x-\frac{1}{2})$，而该因子在区间 $[0,1]$ 上的积分为零，即： $$\int_0^1 (x-\frac{1}{2}) dx = \left[ \frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}(\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 0$$ 这一性质提示我们，如果能够将 $f'(x)$ 表示为某个常数加上一个与 $(x-\frac{1}{2})$ 相关的余项，那么常数部分与 $(x-\frac{1}{2})$ 的乘积积分就会为零。实际上，由泰勒公式，将 $f'(x)$ 在 $x=\frac{1}{2}$ 处展开： $$f'(x) = f'(\frac{1}{2}) + f''(\xi)(x-\frac{1}{2})$$ 代入原积分： $$\int_0^1 (x-\frac{1}{2}) f'(x) dx = \int_0^1 (x-\frac{1}{2}) \left[ f'(\frac{1}{2}) + f''(\xi)(x-\frac{1}{2}) \right] dx$$ $$= f'(\frac{1}{2}) \int_0^1 (x-\frac{1}{2}) dx + \int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx$$ 由于 $\int_0^1 (x-\frac{1}{2}) dx = 0$，第一项消失，于是得到： $$\int_0^1 (x-\frac{1}{2}) f'(x) dx = \int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx$$ 将此结果与上一阶段得到的等式结合，即： $$\int_0^1 (x-\frac{1}{2}) f'(x) dx = f(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx$$ 将左边替换为 $\int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx$，得到： $$\int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx = f(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx$$ 移项整理： $$\int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx - \frac{1}{2} \int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx = f(\frac{1}{2})$$ 即： $$\frac{1}{2} \int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx = f(\frac{1}{2})$$ 从而得到简化后的等式： $$0 = f(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx$$ 实际上，上式等价于： $$f(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} \int_0^1 f''(\xi)(x-\frac{1}{2})^2 dx$$ 至此，我们成功消去了一阶导数项 $f'(x)$，将原问题转化为仅涉及 $f(\frac{1}{2})$ 和二阶导数 $f''(\xi)$ 的表达式。

由前一步得到的表达式： $$f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \int_0^1 f''(\xi) \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 dx,$$ 其中 $\xi$ 介于 $x$ 与 $\frac{1}{2}$ 之间。 已知条件中 $f''(x) > 0$（即函数为严格凸函数），因此对于任意 $x \in [0,1]$，有 $f''(\xi) > 0$。同时，平方项 $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$，且仅在 $x = \frac{1}{2}$ 处为零，在其余点处恒正。故被积函数 $f''(\xi) \left(x - \frac{1}{2}\right)^2$ 在 $[0,1]$ 上非负，且不恒为零，从而积分 $$\int_0^1 f''(\xi) \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 dx > 0.$$ 于是， $$f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \times (\text{正数}) < 0.$$ 因此，$f\left(\frac{1}{2}\right)$ 的符号为负。对照题目选项，该结论对应选项 (D)。 最终验证：由 $f''(x)>0$ 推出 $f\left(\frac{1}{2}\right)<0$，与选项 (D) 一致，步骤完成。