📋 详细解题步骤
目标：计算M的精确值
首先，我们需要计算积分 $M = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \, dx$。
将被积函数展开：
\[
\frac{(1+x)^2}{1+x^2} = \frac{1 + 2x + x^2}{1+x^2} = \frac{1+x^2}{1+x^2} + \frac{2x}{1+x^2} = 1 + \frac{2x}{1+x^2}.
\]
因此，
\[
M = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \frac{2x}{1+x^2}\right) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2x}{1+x^2} \, dx.
\]
第一个积分：
\[
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi.
\]
第二个积分中，被积函数 $\frac{2x}{1+x^2}$ 是奇函数（因为分子 $2x$ 是奇函数，分母 $1+x^2$ 是偶函数，整体为奇函数），积分区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 关于原点对称，所以奇函数在对称区间上的积分为零：
\[
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2x}{1+x^2} \, dx = 0.
\]
因此，
\[
M = \pi + 0 = \pi.
\]
所以 $M$ 的精确值为 $\pi$。
公式：$$\frac{(1+x)^2}{1+x^2} = 1 + \frac{2x}{1+x^2}$$
提示：利用代数变形将复杂被积函数拆分为简单部分，再借助奇偶性简化计算。
目标：比较K与M的大小
我们需要比较两个定积分的大小：
$$K = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{1+\cos x} \, dx, \quad M = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 \, dx.$$
首先计算$M$的值：
$$M = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 \, dx = \left[ x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi.$$
现在考虑被积函数$f(x) = \sqrt{1+\cos x}$。在区间$[-\pi/2, \pi/2]$上，$\cos x \ge 0$，因此$1+\cos x \ge 1$，从而$\sqrt{1+\cos x} \ge 1$。并且等号仅在$\cos x = 0$（即$x = \pm \pi/2$）时成立，但在区间内部（如$x=0$处）$\cos x = 1$，此时$\sqrt{1+\cos x} = \sqrt{2} > 1$。因此在整个区间上，除了端点外，都有$\sqrt{1+\cos x} > 1$。
由定积分的保序性（若在区间$[a,b]$上$f(x) \ge g(x)$，且不恒等，则$\int_a^b f(x) \, dx > \int_a^b g(x) \, dx$），可得：
$$K = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{1+\cos x} \, dx > \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 \, dx = M.$$
因此$K > M$。
公式：$$\sqrt{1+\cos x} > 1 \quad (x \in (-\pi/2, \pi/2)) \quad \Rightarrow \quad K = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{1+\cos x} \, dx > \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 \, dx = M$$
提示：利用被积函数在区间内的严格不等式，结合定积分保序性直接比较。
目标：比较M与N的大小
为了比较$M$与$N$的大小，我们需要分析被积函数在积分区间上的大小关系。已知$M = \int_{0}^{1} 1 \, dx$，$N = \int_{0}^{1} \frac{1+x}{e^x} \, dx$。由于积分区间相同，只需比较被积函数$1$与$\frac{1+x}{e^x}$在$x \in [0,1]$上的大小。
考虑函数$f(x) = e^x - (1+x)$。对于$x \in [0,1]$，有$f'(x) = e^x - 1 \geq 0$，且$f(0)=0$，因此$f(x) \geq 0$，即$e^x \geq 1+x$，等号仅在$x=0$时成立。于是$\frac{1+x}{e^x} \leq 1$，且当$x>0$时严格小于$1$。
因此，在区间$(0,1]$上，$1 > \frac{1+x}{e^x}$。由定积分的保序性，若在区间上$f(x) > g(x)$，则$\int_a^b f(x) \, dx > \int_a^b g(x) \, dx$。故有：
$$M = \int_{0}^{1} 1 \, dx > \int_{0}^{1} \frac{1+x}{e^x} \, dx = N.$$
所以$M > N$。
公式：e^x \geq 1+x \quad (x \in [0,1]) \quad \Rightarrow \quad \frac{1+x}{e^x} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad M > N
提示：利用$e^x \geq 1+x$（$x\geq0$）直接比较被积函数，避免复杂计算。
目标：得出最终排序并选择选项
由前几步的推导，我们已分别得到三个积分的大小关系：
对于 $K = \int_{2}^{4} \frac{\ln x}{x} \, dx$，通过换元 $t = \ln x$ 可求得其值为 $\frac{1}{2}(\ln^2 4 - \ln^2 2) = \frac{1}{2}(\ln^2 2^2 - \ln^2 2) = \frac{1}{2}(4\ln^2 2 - \ln^2 2) = \frac{3}{2}\ln^2 2$。
对于 $M = \int_{2}^{4} \frac{\ln x}{x^2} \, dx$，利用分部积分法，令 $u = \ln x$，$dv = x^{-2}dx$，得 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = -\frac{1}{x}$，则
$$\begin{aligned}
M &= \left[-\frac{\ln x}{x}\right]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} \frac{1}{x^2} \, dx \\
&= \left(-\frac{\ln 4}{4} + \frac{\ln 2}{2}\right) + \left[-\frac{1}{x}\right]_{2}^{4} \\
&= -\frac{2\ln 2}{4} + \frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \\
&= -\frac{\ln 2}{2} + \frac{\ln 2}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
\end{aligned}$$
对于 $N = \int_{2}^{4} \frac{\ln x}{x^3} \, dx$，同样使用分部积分，令 $u = \ln x$，$dv = x^{-3}dx$，得 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = -\frac{1}{2x^2}$，则
$$\begin{aligned}
N &= \left[-\frac{\ln x}{2x^2}\right]_{2}^{4} + \frac{1}{2}\int_{2}^{4} \frac{1}{x^3} \, dx \\
&= \left(-\frac{\ln 4}{2\cdot 16} + \frac{\ln 2}{2\cdot 4}\right) + \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2x^2}\right]_{2}^{4} \\
&= \left(-\frac{2\ln 2}{32} + \frac{\ln 2}{8}\right) + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{32} + \frac{1}{8}\right) \\
&= \left(-\frac{\ln 2}{16} + \frac{2\ln 2}{16}\right) + \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{32} \\
&= \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64}.
\end{aligned}$$
现在比较三个数值的大小。$K = \frac{3}{2}\ln^2 2$，$M = \frac{1}{4}$，$N = \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64}$。由于 $\ln 2 \approx 0.6931$，计算近似值：
$$K \approx \frac{3}{2} \times (0.6931)^2 \approx 1.5 \times 0.4805 = 0.7208,$$
$$M = 0.25,$$
$$N \approx \frac{0.6931}{16} + 0.046875 \approx 0.04332 + 0.046875 = 0.0902.$$
显然 $K > M > N$。因此三个积分的大小顺序为 $K > M > N$，对应选项 (C)。
验证：直接比较精确表达式，$K = \frac{3}{2}\ln^2 2$，$M = \frac{1}{4}$，$N = \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64}$。因为 $\ln 2 < 1$，所以 $\ln^2 2 < \ln 2$，从而 $K = \frac{3}{2}\ln^2 2 < \frac{3}{2}\ln 2 \approx 1.0397$，但 $K$ 仍大于 $0.25$；而 $N$ 中 $\frac{\ln 2}{16} < \frac{1}{16} = 0.0625$，加上 $\frac{3}{64}=0.046875$ 后仍小于 $0.25$，故 $K > M > N$ 成立。
公式：K = \frac{3}{2}\ln^2 2, \quad M = \frac{1}{4}, \quad N = \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64}
提示：先精确求出各积分值，再比较数值大小，避免仅凭函数图像直观判断。