2018年考研数学二第6题

首先，观察题目中给出的两个积分：$\iint_{D_1} f(x,y) \,dxdy$ 和 $\iint_{D_2} f(x,y) \,dxdy$，其中 $D_1$ 和 $D_2$ 是两个不同的区域。我们需要将这两个积分合并为一个在区域 $D$ 上的二重积分。根据题目条件，区域 $D_1$ 由 $|x| \leq y \leq 2-x^2$ 描述，区域 $D_2$ 由 $y$ 从 $|x|$ 到 $2-x^2$ 且 $x$ 在某个范围内描述。实际上，两个积分对应的区域是相同的，即 $D = \{(x,y) \mid |x| \leq y \leq 2-x^2\}$。因此，合并后的积分即为 $\iint_D f(x,y) \,dxdy$。 为了进一步分析，我们需要确定 $x$ 的取值范围。由 $|x| \leq 2-x^2$ 可得 $|x| + x^2 \leq 2$。考虑 $x \geq 0$ 时，不等式为 $x + x^2 \leq 2$，即 $x^2 + x - 2 \leq 0$，解得 $-2 \leq x \leq 1$，结合 $x \geq 0$ 得 $0 \leq x \leq 1$。当 $x < 0$ 时，$|x| = -x$，不等式为 $-x + x^2 \leq 2$，即 $x^2 - x - 2 \leq 0$，解得 $-1 \leq x \leq 2$，结合 $x < 0$ 得 $-1 \leq x < 0$。因此 $x$ 的取值范围为 $-1 \leq x \leq 1$。所以区域 $D$ 也可表示为 $D = \{(x,y) \mid -1 \leq x \leq 1,\, |x| \leq y \leq 2-x^2\}$。 合并后的二重积分为： $$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_{x=-1}^{1} \int_{y=|x|}^{2-x^2} f(x,y) \,dy\,dx.$$ 这样我们就完成了积分区域的合并。

观察积分区域$D$，题目中给出的区域关于$y$轴对称（例如$D$为圆域$x^2+y^2\leq 1$或类似对称区域）。对于关于$y$轴对称的区域，被积函数若为$x$的奇函数，则在该区域上的二重积分为零。 被积函数为$1+xy$，拆分为两项：$\iint_D (1+xy)\,dxdy = \iint_D 1\,dxdy + \iint_D xy\,dxdy$。 考虑第二项$\iint_D xy\,dxdy$：函数$f(x,y)=xy$，对于固定的$y$，$f(-x,y)=(-x)y=-xy=-f(x,y)$，因此$f(x,y)$关于$x$是奇函数。由于区域$D$关于$y$轴对称，即若$(x,y)\in D$，则$(-x,y)\in D$，且积分区域对称，奇函数在对称区域上的积分值为零，故 $$ \iint_D xy\,dxdy = 0. $$ 因此原积分简化为 $$ \iint_D (1+xy)\,dxdy = \iint_D 1\,dxdy. $$ 这样，被积函数从$1+xy$简化为常数$1$，后续只需计算区域$D$的面积即可。

利用对称性，积分区域关于$y$轴对称，被积函数为常数$1$（即只求区域面积），因此可以只计算$x \geq 0$部分的二重积分，再乘以$2$。 对于$x \geq 0$部分，区域由以下不等式确定： - $x$从$0$到$1$（因为曲线$y=2-x^2$与直线$y=x$的交点满足$x=2-x^2$，解得$x=1$或$x=-2$，取$x=1$）； - 对于固定的$x$，$y$的下边界为直线$y=x$，上边界为抛物线$y=2-x^2$。 因此，原积分化为累次积分： $$ \iint_D 1 \, d\sigma = 2 \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{2-x^2} 1 \, dy. $$ 注意：内层积分对$y$积分时，被积函数为$1$，所以$\int_{x}^{2-x^2} 1 \, dy = (2-x^2) - x = 2 - x^2 - x$。外层积分再对$x$从$0$到$1$积分，最后乘以$2$即可得到整个区域的面积。

本步骤的目标是计算内层积分。在二重积分中，我们通常先对其中一个变量进行积分。这里，我们已经确定了积分次序，先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。内层积分的被积函数为 $1$，积分变量为 $y$，积分下限为 $y = x$，积分上限为 $y = 2 - x^2$。因此，内层积分可以表示为： $$ \int_{y=x}^{y=2-x^2} 1 \, dy $$ 对 $y$ 积分时，将 $x$ 视为常数。由于被积函数是 $1$，其原函数为 $y$。根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分等于上限代入原函数的值减去下限代入原函数的值： $$ \int_{x}^{2-x^2} 1 \, dy = \left[ y \right]_{y=x}^{y=2-x^2} = (2 - x^2) - x $$ 化简得到： $$ (2 - x^2) - x = 2 - x^2 - x $$ 因此，内层积分的结果为 $2 - x^2 - x$。这个结果将作为外层积分的被积函数，用于下一步对 $x$ 的积分。注意，此时积分变量 $y$ 已被消去，只剩下 $x$ 的函数。

本步骤计算外层定积分 $2\int_0^1 (2 - x^2 - x) \, dx$。首先，求出被积函数 $2 - x^2 - x$ 的一个原函数。根据基本积分公式：$\int 2 \, dx = 2x$，$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$，$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$，因此原函数为 $F(x) = 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$。利用牛顿-莱布尼茨公式，定积分 $\int_0^1 (2 - x^2 - x) \, dx = F(1) - F(0)$。计算 $F(1) = 2\cdot1 - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} = 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$，通分后得 $\frac{12}{6} - \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = \frac{7}{6}$。$F(0) = 0 - 0 - 0 = 0$，所以 $\int_0^1 (2 - x^2 - x) \, dx = \frac{7}{6}$。再乘以系数 $2$，得到 $2 \times \frac{7}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$。因此，最终结果为 $\frac{7}{3}$。验证：将 $x=0$ 和 $x=1$ 代入原被积函数，积分值合理，且计算过程中无符号错误，结果正确。