2018年考研数学二第20题

首先，根据题目条件，曲线 $L$ 为 $y = \sqrt{x}$（$x \geq 0$），固定点 $O$ 为坐标原点 $(0,0)$，固定点 $A$ 为 $(1,0)$。动点 $P$ 在曲线 $L$ 上运动，设其坐标为 $(t, \sqrt{t})$，其中 $t > 0$。 由题意，面积 $S$ 是由线段 $OA$、曲线弧 $AP$ 以及线段 $OP$ 所围成的封闭区域的面积。具体来说： - $OA$ 是 $x$ 轴上从 $O(0,0)$ 到 $A(1,0)$ 的线段； - $AP$ 是曲线 $L$ 上从 $A(1,1)$ 到 $P(t,\sqrt{t})$ 的一段弧（注意 $A$ 也在曲线 $L$ 上，因为 $\sqrt{1}=1$）； - $OP$ 是连接原点 $O$ 与动点 $P$ 的直线段。 为了计算该面积，我们需要确定积分区域。观察图形，该区域在 $x$ 轴上的投影范围是从 $x=0$ 到 $x=t$（因为 $P$ 的横坐标为 $t$）。但需注意，区域的上边界由曲线 $L$ 和直线 $OP$ 分段构成：当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时，上边界是直线 $OP$（因为 $OP$ 在 $x \in [0,1]$ 段位于曲线 $L$ 上方？需要具体判断）；当 $x$ 从 $1$ 到 $t$ 时，上边界是曲线 $L$（若 $t>1$）或下边界是曲线 $L$（若 $t<1$）。由于题目未明确 $t$ 与 $1$ 的大小关系，我们需分情况讨论。但通常此类问题中 $P$ 在 $A$ 右侧（$t>1$），此时区域由 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 的直线 $OP$ 上边界和 $x$ 从 $1$ 到 $t$ 的曲线 $L$ 上边界围成，下边界均为 $x$ 轴（线段 $OA$ 部分）和直线 $OP$ 的下方部分？实际上，更清晰的描述是：该区域可视为由 $x$ 轴、直线 $OP$ 和曲线 $L$ 围成，其边界在 $x$ 轴上从 $O$ 到 $A$，然后沿曲线 $L$ 从 $A$ 到 $P$，再沿直线 $OP$ 从 $P$ 回到 $O$。因此，面积 $S$ 可以用定积分表示为： $$S = \int_{0}^{1} \left( \text{直线 } OP \text{ 的纵坐标} \right) \, dx + \int_{1}^{t} \left( \text{曲线 } L \text{ 的纵坐标} \right) \, dx - \int_{0}^{t} \left( \text{直线 } OP \text{ 的纵坐标} \right) \, dx ?$$ 实际上，更直接的方法是将区域视为两个曲边梯形之差：以 $x$ 轴为底，上边界分别为曲线 $L$ 和直线 $OP$ 的图形之差。但为了后续步骤的简洁，我们在此步骤仅明确几何关系： - 曲线 $L$：$y = \sqrt{x}$，$x \in [0, +\infty)$； - 固定点 $O(0,0)$，$A(1,0)$； - 动点 $P(t, \sqrt{t})$，$t > 0$； - 面积 $S$ 由 $OA$（$x$ 轴上从 $0$ 到 $1$ 的线段）、曲线弧 $AP$（$y=\sqrt{x}$ 上从 $x=1$ 到 $x=t$ 的部分）以及直线段 $OP$（连接 $(0,0)$ 与 $(t,\sqrt{t})$）围成。 - 积分区域在 $x$ 轴上的投影为 $[0, t]$，但需根据 $t$ 与 $1$ 的关系分段处理上边界。

已知点$A(0,1)$和点$P(x, \frac{4x^2}{9})$，其中$x$为点$P$的横坐标。要写出直线$AP$的方程，首先需要求出直线$AP$的斜率$k_{AP}$。斜率公式为$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，代入$A$和$P$的坐标： $$k_{AP} = \frac{\frac{4x^2}{9} - 1}{x - 0} = \frac{\frac{4x^2}{9} - 1}{x}$$ 将分子通分：$\frac{4x^2}{9} - 1 = \frac{4x^2 - 9}{9}$，因此 $$k_{AP} = \frac{\frac{4x^2 - 9}{9}}{x} = \frac{4x^2 - 9}{9x}$$ 得到斜率后，利用点斜式方程$y - y_1 = k(x - x_1)$，取点$A(0,1)$，代入得： $$y - 1 = \frac{4x^2 - 9}{9x}(x - 0)$$ 化简右边：$\frac{4x^2 - 9}{9x} \cdot x = \frac{4x^2 - 9}{9}$，所以直线$AP$的方程为： $$y - 1 = \frac{4x^2 - 9}{9}$$ 进一步整理，将常数项移到右边： $$y = 1 + \frac{4x^2 - 9}{9} = \frac{9}{9} + \frac{4x^2 - 9}{9} = \frac{4x^2}{9}$$ 因此直线$AP$的方程为$y = \frac{4x^2}{9}$。注意，这里得到的方程恰好与抛物线方程相同，这是因为点$P$在抛物线上，且$A$也在抛物线上（当$x=0$时，$y=1$，而$\frac{4\cdot0^2}{9}=0$，实际上$A$不在抛物线上，此处推导结果$y=\frac{4x^2}{9}$是直线方程，但需注意该直线方程仅对当前参数$x$成立，$x$是点$P$的横坐标，因此直线$AP$的方程依赖于$x$。更准确的写法是保留参数形式：$y - 1 = \frac{4x^2 - 9}{9x}(X - 0)$，其中$X$为直线上任意点的横坐标。但根据题目上下文，通常将$P$的横坐标视为参数，直线方程表示为$y = 1 + \frac{4x^2 - 9}{9x} \cdot X$。为与后续步骤一致，此处采用点斜式形式。

根据题意，曲线L为$y = \sqrt{x}$，点$P$在曲线L上，其横坐标为$x$（$x > 0$），则$P$点坐标为$(x, \sqrt{x})$。点$A$为曲线L与$x$轴的交点，由$y=0$得$\sqrt{x}=0$，故$A(0,0)$。直线$AP$过原点$A$和点$P$，其斜率为$k = \frac{\sqrt{x} - 0}{x - 0} = \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$，因此直线$AP$的方程为$y = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot t$，其中$t$为横坐标变量。为区分积分变量，记积分变量为$u$，则直线$AP$的纵坐标为$y_{\text{直线}} = \frac{1}{\sqrt{x}} u$，曲线L的纵坐标为$y_{\text{曲线}} = \sqrt{u}$。所求面积$S$是直线$AP$与曲线L在区间$[0, x]$上所围成的区域面积，即直线在上、曲线在下，因此被积函数为直线纵坐标减去曲线纵坐标：$\frac{1}{\sqrt{x}} u - \sqrt{u}$。于是面积$S$关于$x$的定积分表达式为：$$S = \int_{0}^{x} \left( \frac{1}{\sqrt{x}} u - \sqrt{u} \right) du$$ 注意积分变量为$u$，而$x$作为参数视为常数。该积分表示从$u=0$到$u=x$，直线$AP$与曲线$L$之间竖直方向的距离的累积，即所求面积。

本步骤需要计算定积分 $S(x) = \int_0^x \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{9}t^2 \right) dt$。首先，将被积函数拆分为两项之和，利用定积分的线性性质： $$S(x) = \int_0^x \frac{1}{2} dt + \int_0^x \frac{2}{9}t^2 dt.$$ 分别计算两个积分。第一个积分： $$\int_0^x \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_0^x 1 \cdot dt = \frac{1}{2} \cdot x = \frac{x}{2}.$$ 第二个积分： $$\int_0^x \frac{2}{9}t^2 dt = \frac{2}{9} \int_0^x t^2 dt = \frac{2}{9} \cdot \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^x = \frac{2}{9} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{27}x^3.$$ 将两部分相加，得到： $$S(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{27}x^3.$$ 因此，化简后的 $S(x)$ 表达式为 $\frac{x}{2} + \frac{2}{27}x^3$。

本步骤的目标是对已得到的面积函数$S(x)$求导，并计算在$x=3$处的导数值。首先，回顾前一步得到的$S(x)$表达式： $$S(x)=\frac{1}{2}x+\frac{2}{27}x^3$$ 这是一个关于$x$的多项式函数，其中$x>0$。我们对其求导，利用幂函数求导公式：若$f(x)=x^n$，则$f'(x)=nx^{n-1}$。 对第一项$\frac{1}{2}x$求导： $$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x\right)=\frac{1}{2}$$ 对第二项$\frac{2}{27}x^3$求导： $$\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{27}x^3\right)=\frac{2}{27}\cdot 3x^{2}=\frac{6}{27}x^2=\frac{2}{9}x^2$$ 因此，导数$\frac{dS}{dx}$为： $$\frac{dS}{dx}=\frac{1}{2}+\frac{2}{9}x^2$$ 接下来，代入题目给定的$x=3$（注意：此处$x$是切点横坐标，由前一步已知$x=3$满足条件），计算导数值： $$\left.\frac{dS}{dx}\right|_{x=3}=\frac{1}{2}+\frac{2}{9}\cdot 3^2=\frac{1}{2}+\frac{2}{9}\cdot 9=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$$ 所以，$S(x)$在$x=3$处的导数为$\frac{5}{2}$。这个导数表示当切点横坐标$x$变化时，面积$S$的变化率。在后续步骤中，我们将利用这个导数结果进一步分析$S$的单调性或极值情况。

已知前一步已求得 $\frac{dS}{dx} = \frac{5}{2}$，且题目给出 $\frac{dx}{dt} = 4$。根据链式法则，面积 $S$ 对时间 $t$ 的变化率 $\frac{dS}{dt}$ 等于 $S$ 对 $x$ 的导数乘以 $x$ 对 $t$ 的导数，即： $$ \frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} $$ 代入已知数值： $$ \frac{dS}{dt} = \frac{5}{2} \times 4 = 10 $$ 因此，面积 $S$ 关于时间 $t$ 的变化率为 $10$（单位：面积单位/时间单位）。 **最终答案验证**： - 链式法则是处理复合函数变化率的核心工具，本题中 $S$ 是 $x$ 的函数，而 $x$ 又是 $t$ 的函数，故 $\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ 成立。 - 代入数值后计算得 $\frac{5}{2} \times 4 = 10$，结果为正，表明面积随时间增加而增大，符合实际意义。 - 最终答案：$\frac{dS}{dt} = 10$。