2018年考研数学二第21题

解答题 · 11分

📝 题目

设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}\gt 0, x_{n} \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1(n=1,2, \cdots)$ 。证明 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

因为 $x_{1} \neq 0$ ，所以 $\mathrm{e}^{x_{2}}=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x_{1}}-1}{x_{1}}$ ．由微分中值定理，存在 $\xi \in\left(0, x_{1}\right)$ ，使得 $\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x_{1}}-1}{x_{1}}=\mathrm{e}^{\xi}$ ，即 $\mathrm{e}^{x_{2}}=\mathrm{e}^{\xi}$ ，因此 $0\lt x_{2}\lt x_{1}$ ． 假设 $0\lt x_{n+1}\lt x_{n}$ ，则 $\mathrm{e}^{x_{n+2}}=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x_{n+1}}-1}{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{\eta}\left(0\lt \eta\lt x_{n+1}\right)$ ，即 $0\lt x_{n+2}\lt x_{n+1}$ 。故 $\left\{x_{n}\right}$ 是单调减少的数列，且有下界，从而 $\left\{x_{n}\right}$ 收敛。 设 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，在等式 $x_{n} \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1$ 两边取极限，得 $a \mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{a}-1$ ，显然 $a=0$ 为其解．又令 $f(x)=x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1$ ，则 $f^{\prime}(x)=x \mathrm{e}^{x}$ 。 当 $x\gt 0$ 时，$f^{\prime}(x)=x \mathrm{e}^{x}\gt 0$ ，函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增加，所以 $a=0$ 是方程 $a \mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{a}-1$ 在 $[0,+\infty)$ 上的唯一解，故 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ．

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：证明x2介于0与x1之间
已知递推关系 $x_{n+1} = \ln(1 + x_n)$，且 $x_1 > 0$。首先写出 $x_2$ 的表达式： $$x_2 = \ln(1 + x_1) \quad \Rightarrow \quad e^{x_2} = 1 + x_1 \quad \Rightarrow \quad e^{x_2} = \frac{e^{x_1} - 1}{x_1}.$$ 考虑函数 $f(t) = e^t$ 在区间 $[0, x_1]$ 上。由于 $f$ 在 $[0, x_1]$ 上连续，在 $(0, x_1)$ 内可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0, x_1)$ 使得 $$\frac{e^{x_1} - e^0}{x_1 - 0} = f'(\xi) = e^\xi,$$ 即 $$\frac{e^{x_1} - 1}{x_1} = e^\xi.$$ 因此 $e^{x_2} = e^\xi$，由于指数函数是严格单调的，可得 $x_2 = \xi$。又因为 $\xi \in (0, x_1)$，所以 $0 < x_2 < x_1$。这就证明了 $x_2$ 介于 $0$ 与 $x_1$ 之间。
公式：$$\frac{e^{x_1} - 1}{x_1} = e^\xi, \quad \xi \in (0, x_1)$$
提示：利用拉格朗日中值定理将差商转化为某点的导数值，再结合单调性得到变量相等。
步骤 4/6
目标：设极限为a并代入递推式
由于数列 $\{x_n\}$ 单调递减且有下界，根据单调有界准则，极限存在。设 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。在递推关系式 $x_n e^{x_{n+1}} = e^{x_n} - 1$ 两边同时取极限 $n \to \infty$。由于 $x_n \to a$，且指数函数连续，有 $e^{x_n} \to e^a$，$e^{x_{n+1}} \to e^a$。因此极限等式为： $$ \lim_{n \to \infty} x_n e^{x_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} (e^{x_n} - 1). $$ 代入极限值得： $$ a \cdot e^a = e^a - 1. $$ 整理得： $$ e^a (a - 1) = -1 \quad \text{或} \quad a e^a - e^a + 1 = 0. $$ 这个方程即为极限 $a$ 所满足的方程，后续步骤将求解该方程。
公式：$$a e^a = e^a - 1$$
提示：取极限时注意利用指数函数的连续性，将 $e^{x_{n+1}}$ 的极限直接替换为 $e^a$。
步骤 5/6
目标：求解方程并证明a=0是唯一解
我们需要证明方程 $a e^a - e^a + 1 = 0$ 在 $[0, +\infty)$ 上只有唯一解 $a=0$。为此，构造函数 $f(x) = x e^x - e^x + 1$，其中 $x \geq 0$。首先计算 $f(x)$ 的导数：$f'(x) = e^x + x e^x - e^x = x e^x$。因此 $f'(x) = x e^x$。当 $x > 0$ 时，$e^x > 0$，所以 $f'(x) > 0$；当 $x = 0$ 时，$f'(0) = 0$。这说明 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增（严格递增当 $x>0$）。又因为 $f(0) = 0 \cdot e^0 - e^0 + 1 = 0 - 1 + 1 = 0$，所以 $x=0$ 是 $f(x)$ 的一个零点。由于 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增，且 $f(0)=0$，因此对于任意 $x > 0$，有 $f(x) > f(0) = 0$；对于 $x < 0$（不在当前考虑区间内），$f(x)$ 可能为负，但本步骤只考虑 $[0, +\infty)$ 区间。所以方程 $f(a)=0$ 在 $[0, +\infty)$ 上只有唯一解 $a=0$。
公式：f(x) = x e^x - e^x + 1, \quad f'(x) = x e^x
提示：构造辅助函数后，利用导数判断单调性，再结合特殊点函数值确定唯一零点。

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