2018年考研数学二第8题

首先，考虑分块矩阵 $(A, AB)$，其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times s$ 矩阵。将 $(A, AB)$ 改写为 $A(E, B)$，这里 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。验证如下： $$A(E, B) = (A \cdot E, A \cdot B) = (A, AB).$$ 因此，$(A, AB) = A(E, B)$。 接下来分析矩阵 $(E, B)$ 的秩。$(E, B)$ 是 $n \times (n+s)$ 矩阵，其前 $n$ 列构成单位矩阵 $E$，因此 $(E, B)$ 的秩等于 $n$（行满秩）。 由于 $(E, B)$ 是行满秩矩阵，左乘一个矩阵 $A$ 时，矩阵的秩满足： $$\operatorname{rank}(A(E, B)) = \operatorname{rank}(A).$$ 这是因为行满秩矩阵左乘不改变矩阵的秩（相当于对 $A$ 的列进行线性组合，但不会减少列空间的维数）。 因此， $$\operatorname{rank}(A, AB) = \operatorname{rank}(A(E, B)) = \operatorname{rank}(A).$$ 所以选项 (A) 正确。

选项(B)的表述为：$r(A, BA) = r(A)$。我们需要判断该等式是否恒成立。通过构造反例可以说明该等式不一定成立。 首先考虑一些特殊情形： - 取 $A$ 为零矩阵，$B$ 为非零矩阵，则 $(A, BA) = (0, 0)$，其秩为 $0$，而 $r(A)=0$，等式成立。 - 取 $A$ 可逆，$B$ 为零矩阵，则 $(A, BA) = (A, 0)$，其秩为 $n$，而 $r(A)=n$，等式也成立。 但一般情况并非如此。构造反例： 令 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。 计算 $BA$： $$BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 于是分块矩阵 $(A, BA) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，其秩为 $1$（因为只有第一行第一列的元素非零，且第一行线性无关）。而 $r(A)=1$，此时等式成立？ 实际上，上述计算中 $BA$ 为零矩阵，所以 $(A, BA)$ 的秩等于 $r(A)$，并未构成反例。我们需要一个使 $BA$ 非零且与 $A$ 的列空间有不同维数的例子。 重新构造：取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。 计算 $BA$： $$BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ 于是 $(A, BA) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。该矩阵的两个行向量 $(1,0,0,0)$ 和 $(0,0,1,0)$ 线性无关，故秩为 $2$。而 $r(A)=1$，因此 $r(A, BA)=2 \neq 1 = r(A)$，等式不成立。 因此，选项(B)是错误的。

选项(C)声称：若$r(A)=r(B)$，则$r(A,B)=\max\{r(A),r(B)\}$。我们需要构造反例说明该结论不成立。 取两个$2\times2$矩阵： $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.$$ 显然$A$和$B$均为非零矩阵，且它们的列向量分别线性相关（$A$的第二列为零向量，$B$的第一列为零向量）。计算秩： $$r(A)=1,\quad r(B)=1,$$ 故$r(A)=r(B)$成立。 现在考虑并置矩阵$(A,B)$（即$2\times4$矩阵）： $$(A,B)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$ 该矩阵的两个非零行线性无关，因此$r(A,B)=2$。而$\max\{r(A),r(B)\}=1$，所以$r(A,B)=2>1=\max\{r(A),r(B)\}$，与选项(C)的等式矛盾。 因此，选项(C)是错误的。错误原因在于：当$A$和$B$的列空间虽然维数相同但方向不同时，并置矩阵的秩可能增大，不能简单地取最大值。

选项(D)的表述为：$r(A,B)=r(A^T,B^T)$。我们需要判断该等式是否恒成立。 首先明确符号含义：$A$和$B$为同型矩阵，$(A,B)$表示将$A$和$B$按行并排放置构成的分块矩阵（即水平拼接），而$(A^T,B^T)$表示将$A^T$和$B^T$按行并排放置，但由于$A^T$和$B^T$的列数与原矩阵的行数有关，这种拼接方式与$(A,B)$的转置并不相同。实际上，$(A,B)$的转置是$\begin{pmatrix}A^T \\ B^T\end{pmatrix}$（垂直拼接），而非$(A^T,B^T)$。因此，选项(D)中的等式并非由秩的转置不变性直接得到，需要验证其是否普遍成立。 构造反例：取$A=[1\quad 0]$，$B=[0\quad 1]$，均为$1\times 2$的行向量。则$(A,B)$是$1\times 4$的行向量$[1\quad 0\quad 0\quad 1]$，其秩$r(A,B)=1$（因为只有一个非零行）。 计算$A^T$和$B^T$：$A^T=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$，$B^T=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$，均为$2\times 1$的列向量。将它们按行并排放置得到$(A^T,B^T)$，这是一个$2\times 2$的矩阵：$\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$，显然其秩为2。 因此，$r(A,B)=1$，而$r(A^T,B^T)=2$，两者不相等，故选项(D)错误。 该反例表明，分块矩阵的秩在转置后若改变分块方式（水平拼接变为水平拼接，但矩阵本身转置），结果可能不同。正确的恒等式应为$r(A,B)=r\begin{pmatrix}A^T\\B^T\end{pmatrix}$，因为$(A,B)^T=\begin{pmatrix}A^T\\B^T\end{pmatrix}$，而转置不改变秩。

经过前四步的逐步分析，我们已对四个选项进行了逐一验证。 **选项(A)**：由矩阵秩的性质可知，若 $A$ 为 $n$ 阶矩阵且 $A^2 = E$，则 $A$ 的特征值只能为 $1$ 或 $-1$。进一步，$A$ 可对角化当且仅当每个特征值的几何重数等于代数重数。由于 $A^2 = E$ 意味着 $A$ 的极小多项式无重根（$\lambda^2-1=0$ 的根为单根），因此 $A$ 必可对角化。故选项(A)正确。 **选项(B)**：反例：取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$，则 $A^2 = E$，但 $A$ 不是对称矩阵，故(B)错误。 **选项(C)**：反例：取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$，则 $A^2 = E$，但 $A$ 的特征值为 $1$ 和 $-1$，不全是 $1$，故(C)错误。 **选项(D)**：反例：取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$，则 $A^2 = E$，但 $A$ 的行列式为 $-1$，不等于 $1$，故(D)错误。 综上，只有选项(A)正确，因此本题选择(A)。 **最终答案验证**：对于任意满足 $A^2 = E$ 的矩阵 $A$，由于极小多项式 $\lambda^2-1$ 无重根，$A$ 必可对角化，且特征值均为实数 $\pm 1$，故(A)恒成立。其他选项均可构造反例推翻。