2018年考研数学二第9题

首先，我们考虑函数 $f(t) = \arctan t$，该函数在区间 $[x, x+1]$ 上连续，在开区间 $(x, x+1)$ 内可导，满足拉格朗日中值定理的条件。 根据拉格朗日中值定理，存在一点 $\xi \in (x, x+1)$，使得 $$\frac{f(x+1)-f(x)}{(x+1)-x} = f'(\xi).$$ 计算 $f'(t) = \frac{1}{1+t^2}$，代入上式得 $$\frac{\arctan(x+1)-\arctan x}{1} = \frac{1}{1+\xi^2}.$$ 因此， $$\arctan(x+1)-\arctan x = \frac{1}{1+\xi^2}, \quad \xi \in (x, x+1).$$ 这个等式将原问题中的差值与某个中间点的函数值联系起来，为后续步骤中利用 $\xi$ 的范围进行不等式放缩奠定了基础。注意，这里的 $\xi$ 依赖于 $x$，但具体值未知，我们只需知道它介于 $x$ 和 $x+1$ 之间即可。

在第一步中，我们利用拉格朗日中值定理将差值 $\arctan(x+1) - \arctan x$ 表示为 $\frac{1}{1+\xi^2}$，其中 $\xi \in (x, x+1)$。现在，我们将这个表达式代入原极限： 原极限为 $$ \lim_{x \to +\infty} x^2 \left[ \arctan(x+1) - \arctan x \right]. $$ 将差值替换后得到 $$ \lim_{x \to +\infty} x^2 \cdot \frac{1}{1+\xi^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{1+\xi^2}. $$ 由于 $\xi$ 介于 $x$ 和 $x+1$ 之间，即 $x < \xi < x+1$，因此当 $x \to +\infty$ 时，$\xi \to +\infty$，且 $\xi$ 与 $x$ 是同阶无穷大量。为了进一步处理，我们需要利用夹逼准则或等价无穷小来估计 $\frac{x^2}{1+\xi^2}$ 的极限。注意到 $\xi$ 与 $x$ 非常接近，我们可以考虑将 $\xi$ 用 $x$ 表示，但这里 $\xi$ 是依赖于 $x$ 的未知中间值，因此需要利用不等式： $$ x < \xi < x+1 \quad \Rightarrow \quad x^2 < \xi^2 < (x+1)^2. $$ 于是 $$ \frac{x^2}{1+(x+1)^2} < \frac{x^2}{1+\xi^2} < \frac{x^2}{1+x^2}. $$ 当 $x \to +\infty$ 时，左右两端的极限均为 $1$（因为 $\frac{x^2}{1+x^2} \to 1$，$\frac{x^2}{1+(x+1)^2} \to 1$），由夹逼准则可知原极限为 $1$。但本步骤仅要求完成代入过程，后续步骤将详细计算极限值。因此，本步骤的关键结果是： $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{1+\xi^2}. $$

已知积分中值定理中的ξ满足$\xi \in (x, x+1)$，因此有严格不等式：$x < \xi < x+1$。由于$x > 0$（题目隐含条件，积分区间为正），三个数均为正数，平方后不等号方向不变，得到$x^2 < \xi^2 < (x+1)^2$。 接下来考虑被积函数$f(t) = \frac{x^2}{1+t^2}$，其中$x$视为常数，$t$为积分变量。注意$f(t)$关于$t$是单调递减的（因为分母$1+t^2$随$t$增大而增大）。由于$\xi$介于$x$与$x+1$之间，且$\xi^2$也介于$x^2$与$(x+1)^2$之间，因此$f(\xi) = \frac{x^2}{1+\xi^2}$满足： 分母$1+\xi^2$介于$1+x^2$与$1+(x+1)^2$之间，即$1+x^2 < 1+\xi^2 < 1+(x+1)^2$。取倒数时不等号反向：$\frac{1}{1+(x+1)^2} < \frac{1}{1+\xi^2} < \frac{1}{1+x^2}$。 两边同时乘以正数$x^2$，得到： $$\frac{x^2}{1+(x+1)^2} < \frac{x^2}{1+\xi^2} < \frac{x^2}{1+x^2}.$$ 这就是关于$\xi$的不等式，它将积分中值定理中出现的$\frac{x^2}{1+\xi^2}$夹在两个仅依赖于$x$的表达式之间，为下一步放缩积分值提供了基础。

由前一步得到不等式： $$ \frac{x^2}{1+(x+1)^2} < \int_x^{x+1} \frac{t^2}{1+t^2} \, dt < \frac{x^2}{1+x^2} $$ 现在利用夹逼准则求原极限。首先计算左端极限： $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{1+(x+1)^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2+2x+2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}} = 1 $$ 再计算右端极限： $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{1+x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{x^2}+1} = 1 $$ 由于左右两端极限都等于1，根据夹逼准则，中间的被积函数积分极限也等于1，即： $$ \lim_{x \to +\infty} \int_x^{x+1} \frac{t^2}{1+t^2} \, dt = 1 $$ 最终答案验证：原极限为1，结果正确。