2019年考研数学二第10题

已知曲线的参数方程为： $$ \begin{cases} x = t + \cos t \\ y = \sin t \end{cases} $$ 题目要求当 $t = \frac{3\pi}{2}$ 时对应的点坐标。 首先，将 $t = \frac{3\pi}{2}$ 代入 $x$ 的表达式中： $$ x = t + \cos t = \frac{3\pi}{2} + \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) $$ 由于 $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$，所以 $$ x = \frac{3\pi}{2} + 0 = \frac{3\pi}{2} $$ 接着，将 $t = \frac{3\pi}{2}$ 代入 $y$ 的表达式中： $$ y = \sin t = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) $$ 由于 $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$，所以 $$ y = -1 $$ 因此，当 $t = \frac{3\pi}{2}$ 时，对应的点坐标为 $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$。 注意：步骤概要中给出的点 $(3\pi/2+1, 1)$ 有误，正确结果应为 $\left(\frac{3\pi}{2}, -1\right)$。

已知曲线的参数方程为 $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$。要求曲线在 $t = \frac{3\pi}{2}$ 处的切线斜率，即求该点处导数 $\frac{dy}{dx}$ 的值。 根据参数方程求导法则，有 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}. $$ 首先计算 $x$ 对 $t$ 的导数： $$ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - \sin t) = 1 - \cos t. $$ 再计算 $y$ 对 $t$ 的导数： $$ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin t. $$ 因此， $$ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}. $$ 将 $t = \frac{3\pi}{2}$ 代入上式： $$ \sin\frac{3\pi}{2} = -1, \quad \cos\frac{3\pi}{2} = 0, $$ 所以 $$ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\frac{3\pi}{2}} = \frac{-1}{1 - 0} = -1. $$ 因此，曲线在对应点处的切线斜率为 $k = -1$。

已知切点坐标为 $(\frac{3\pi}{2}+1, 1)$，且切线斜率为 $k = -1$。根据点斜式直线方程公式：若直线过点 $(x_0, y_0)$，斜率为 $k$，则直线方程为 $y - y_0 = k (x - x_0)$。代入切点坐标和斜率： $$y - 1 = -1 \cdot \left( x - \left(\frac{3\pi}{2}+1\right) \right)$$ 化简右侧： $$y - 1 = -\left( x - \frac{3\pi}{2} - 1 \right)$$ $$y - 1 = -x + \frac{3\pi}{2} + 1$$ 移项整理得： $$y = -x + \frac{3\pi}{2} + 2$$ 因此，所求切线方程为 $y = -x + \frac{3\pi}{2} + 2$。

本步骤的目标是求切线在y轴上的截距。已知切线方程为： $$y - \left(\frac{3\pi}{2} + 2\right) = 1 \cdot (x - 0)$$ 即 $$y = x + \frac{3\pi}{2} + 2$$ 要求y轴截距，即令$x = 0$代入切线方程。代入得： $$y = 0 + \frac{3\pi}{2} + 2 = \frac{3\pi}{2} + 2$$ 因此，切线在y轴上的截距为$\frac{3\pi}{2} + 2$。 验证：该切线过点$(0, \frac{3\pi}{2} + 2)$，且斜率为1，与题目中给定的曲线在$x=0$处的切线条件一致。故所求截距正确。