📋 详细解题步骤
目标：求∂z/∂x
已知函数 $z = y f\left(\frac{y^2}{x}\right)$，其中 $f$ 是可微函数。求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 时，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求偏导。
首先，将 $z$ 写成复合函数形式：令中间变量 $u = \frac{y^2}{x}$，则 $z = y f(u)$。
根据链式法则，
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{d f}{d u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
$$
计算 $\frac{\partial u}{\partial x}$：
$$
u = y^2 x^{-1}, \quad \frac{\partial u}{\partial x} = y^2 \cdot (-1) x^{-2} = -\frac{y^2}{x^2}.
$$
代入链式法则：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot f'(u) \cdot \left(-\frac{y^2}{x^2}\right) = -\frac{y^3}{x^2} f'\left(\frac{y^2}{x}\right).
$$
因此，$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y^3}{x^2} f'\left(\frac{y^2}{x}\right)$。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y^3}{x^2} f'\left(\frac{y^2}{x}\right)$$
提示：求偏导时明确哪些变量是常数，并正确应用链式法则逐层求导。
目标：求∂z/∂y
已知 $z = y f\left(\dfrac{y^2}{x}\right)$，其中 $f$ 是可微函数。求 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 时，将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求偏导。
首先，$z$ 是 $y$ 与复合函数 $f\left(\dfrac{y^2}{x}\right)$ 的乘积，因此应用乘法法则：
$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left[y\right] \cdot f\left(\frac{y^2}{x}\right) + y \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left[f\left(\frac{y^2}{x}\right)\right].$$
第一项：$\dfrac{\partial}{\partial y}[y] = 1$，所以第一项为 $f\left(\dfrac{y^2}{x}\right)$。
第二项：对复合函数 $f\left(\dfrac{y^2}{x}\right)$ 求偏导。令中间变量 $u = \dfrac{y^2}{x}$，则 $f(u)$ 对 $y$ 的偏导为 $f'(u) \cdot \dfrac{\partial u}{\partial y}$。由于 $x$ 是常数，$\dfrac{\partial u}{\partial y} = \dfrac{2y}{x}$。因此
$$\frac{\partial}{\partial y}\left[f\left(\frac{y^2}{x}\right)\right] = f'\left(\frac{y^2}{x}\right) \cdot \frac{2y}{x}.$$
于是第二项为 $y \cdot f'\left(\dfrac{y^2}{x}\right) \cdot \dfrac{2y}{x} = \dfrac{2y^2}{x} f'\left(\dfrac{y^2}{x}\right)$。
将两项相加，得到最终结果：
$$\frac{\partial z}{\partial y} = f\left(\frac{y^2}{x}\right) + \frac{2y^2}{x} f'\left(\frac{y^2}{x}\right).$$
公式：\frac{\partial z}{\partial y} = f\left(\frac{y^2}{x}\right) + \frac{2y^2}{x} f'\left(\frac{y^2}{x}\right)
提示：求偏导时明确哪些变量是常数，并正确应用乘法法则和链式法则。
目标：代入目标表达式并化简
已知偏导数结果为：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y^3}{x^2} f'\left(\frac{y^2}{x}\right), \quad \frac{\partial z}{\partial y} = f\left(\frac{y^2}{x}\right) + \frac{2y^2}{x} f'\left(\frac{y^2}{x}\right)
$$
目标表达式为 $2x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y}$。代入得：
$$
2x \cdot \left(-\frac{y^3}{x^2} f'\right) + y \cdot \left(f + \frac{2y^2}{x} f'\right)
$$
第一项化简：$2x \cdot \left(-\frac{y^3}{x^2} f'\right) = -\frac{2y^3}{x} f'$。
第二项展开：$y \cdot f + y \cdot \frac{2y^2}{x} f' = y f + \frac{2y^3}{x} f'$。
两项相加：
$$
-\frac{2y^3}{x} f' + y f + \frac{2y^3}{x} f' = y f\left(\frac{y^2}{x}\right)
$$
因此，最终结果为 $y f\left(\frac{y^2}{x}\right)$。
公式：$$2x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=y f\left(\frac{y^2}{x}\right)$$
提示：注意正负号抵消，简化计算过程。