2019年考研数学二第12题

首先，我们需要明确所求的曲线弧长。题目中给出的曲线方程为 $y = \ln(1 - x^2)$，积分区间为 $x$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{6}$。计算弧长的基本公式为：对于曲线 $y = f(x)$，在区间 $[a, b]$ 上的弧长 $s$ 为 $$s = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$$ 其中 $y' = \frac{dy}{dx}$ 是曲线的一阶导数。本题中，$a = 0$，$b = \frac{\pi}{6}$，因此弧长公式写为 $$s = \int_0^{\pi/6} \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$$ 接下来我们需要计算 $y'$。对 $y = \ln(1 - x^2)$ 求导，利用链式法则：$$y' = \frac{1}{1 - x^2} \cdot (-2x) = -\frac{2x}{1 - x^2}$$ 因此 $(y')^2 = \frac{4x^2}{(1 - x^2)^2}$。代入弧长公式，被积函数为 $$\sqrt{1 + \frac{4x^2}{(1 - x^2)^2}} = \sqrt{\frac{(1 - x^2)^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2}} = \sqrt{\frac{1 - 2x^2 + x^4 + 4x^2}{(1 - x^2)^2}} = \sqrt{\frac{1 + 2x^2 + x^4}{(1 - x^2)^2}} = \sqrt{\frac{(1 + x^2)^2}{(1 - x^2)^2}} = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$$ 注意，在 $x \in [0, \pi/6]$ 上，$1 - x^2 > 0$，所以开方后取正值。因此弧长公式简化为 $$s = \int_0^{\pi/6} \frac{1 + x^2}{1 - x^2} \, dx$$ 这就是本步骤得到的弧长公式。

已知函数 $y = \ln(\cos x)$，要求其导数 $y'$。 根据复合函数求导法则（链式法则），若 $y = \ln u$，其中 $u = \cos x$，则 $y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。 首先，对 $y = \ln u$ 求导，得 $\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$。 其次，对 $u = \cos x$ 求导，得 $\frac{du}{dx} = -\sin x$。 因此， $$ y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x. $$ 所以，导数 $y' = -\tan x$。

在第二步中，我们得到了弧长公式的被积表达式为 $\sqrt{1 + (y')^2}$，其中 $y' = \tan x$。现在代入 $y'$，得到： $$ \sqrt{1 + \tan^2 x}. $$ 根据三角恒等式 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$，上式可化为： $$ \sqrt{\sec^2 x}. $$ 由于 $x$ 在积分区间内（通常为 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 或类似区间，使得 $\sec x > 0$），因此开方后取正值： $$ \sqrt{\sec^2 x} = \sec x. $$ 所以，被积函数化简为 $\sec x$。注意，若区间包含使 $\sec x$ 为负的点，则需加绝对值，但本题区间内 $\sec x > 0$，故直接等于 $\sec x$。

本步骤计算定积分 $\int_{0}^{\pi/6} \sec x \, dx$。首先回忆不定积分公式：$\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$。因此，直接应用牛顿-莱布尼茨公式： $$ \int_{0}^{\pi/6} \sec x \, dx = \left[ \ln|\sec x + \tan x| \right]_{0}^{\pi/6}. $$ 分别计算上下限的值： - 当 $x = \pi/6$ 时，$\sec(\pi/6) = \frac{2}{\sqrt{3}}$，$\tan(\pi/6) = \frac{1}{\sqrt{3}}$，所以 $\sec(\pi/6) + \tan(\pi/6) = \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$。 - 当 $x = 0$ 时，$\sec 0 = 1$，$\tan 0 = 0$，所以 $\sec 0 + \tan 0 = 1$。 因此， $$ \int_{0}^{\pi/6} \sec x \, dx = \ln(\sqrt{3}) - \ln(1) = \ln(\sqrt{3}) = \frac{1}{2} \ln 3. $$ 注意：由于 $\sqrt{3} > 0$，绝对值符号可以去掉。最终结果为 $\frac{1}{2} \ln 3$。

本步骤将已求出的原函数 $\ln|\sec x + \tan x|$ 在积分上下限 $x = \pi/6$ 和 $x = 0$ 处分别代入，并作差化简。 首先代入上限 $x = \pi/6$： $$\sec\frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}}, \quad \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ 因此 $$\sec\frac{\pi}{6} + \tan\frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$ 所以 $$\ln\left|\sec\frac{\pi}{6} + \tan\frac{\pi}{6}\right| = \ln\sqrt{3}$$ 再代入下限 $x = 0$： $$\sec 0 = 1, \quad \tan 0 = 0$$ 因此 $$\sec 0 + \tan 0 = 1 + 0 = 1$$ 所以 $$\ln|1| = 0$$ 根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分值为 $$\int_0^{\pi/6} \sec x \, dx = \ln\sqrt{3} - 0 = \ln\sqrt{3}$$ 最后化简 $\ln\sqrt{3}$： $$\ln\sqrt{3} = \ln\left(3^{1/2}\right) = \frac{1}{2}\ln 3$$ 因此，最终答案为 $\frac{1}{2}\ln 3$。验证：该结果与常见积分表一致，且数值约为 $0.5493$，符合积分区间内 $\sec x$ 为正且单调递增的性质。