2019年考研数学二第13题

首先，明确题目要求计算的积分是 $\int_0^1 f(x) \, dx$，其中 $f(x) = x \int_1^x \frac{\sin(t^2)}{t} \, dt$。 将 $f(x)$ 的表达式代入积分中，得到： $$\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \left( x \int_1^x \frac{\sin(t^2)}{t} \, dt \right) dx.$$ 因此，待求的积分表达式为： $$\int_0^1 x \left( \int_1^x \frac{\sin(t^2)}{t} \, dt \right) dx.$$ 这个表达式是一个二重积分的形式，其中内层积分是关于 $t$ 的变上限积分，外层积分是关于 $x$ 的定积分。后续步骤将利用交换积分次序等方法进行计算。

在第一步中，我们已将原积分 $\int_0^1 x \left( \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \, dt \right) dx$ 中的内层积分视为一个函数。现在应用分部积分法。 令 $u = \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \, dt$，$dv = x \, dx$。 则 $du = \frac{d}{dx} \left( \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \, dt \right) dx = \frac{\sin x^2}{x} \, dx$（由微积分基本定理）， $v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$。 分部积分公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。 代入得： $$ \int_0^1 x \left( \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \, dt \right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \, dt \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{\sin x^2}{x} \, dx. $$ 化简第二项：$\frac{x^2}{2} \cdot \frac{\sin x^2}{x} = \frac{x \sin x^2}{2}$，所以 $$ \int_0^1 x \left( \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \, dt \right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \, dt \right]_0^1 - \frac{1}{2} \int_0^1 x \sin x^2 \, dx. $$ 接下来需要计算边界项 $\left[ \frac{x^2}{2} \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \, dt \right]_0^1$。当 $x=1$ 时，$\frac{1^2}{2} \int_1^1 \frac{\sin t^2}{t} \, dt = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$。当 $x=0$ 时，$\frac{0^2}{2} \int_1^0 \frac{\sin t^2}{t} \, dt = 0 \cdot (\text{有界量}) = 0$。因此边界项整体为 $0$。 于是原积分简化为： $$ \int_0^1 x \left( \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} \, dt \right) dx = -\frac{1}{2} \int_0^1 x \sin x^2 \, dx. $$ 至此，分部积分法应用完成，将原二重积分问题转化为一个简单的一重定积分。

本步骤计算边界项 $\left[\frac{x^2}{2} \cdot \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} dt\right]_0^1$。 首先代入上限 $x=1$： $$\frac{1^2}{2} \cdot \int_1^1 \frac{\sin t^2}{t} dt = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$$ 因为积分上下限相同，定积分为零。 再代入下限 $x=0$： $$\frac{0^2}{2} \cdot \int_1^0 \frac{\sin t^2}{t} dt = 0 \cdot \left(-\int_0^1 \frac{\sin t^2}{t} dt\right) = 0$$ 因为 $\frac{x^2}{2}=0$，乘以任何有限值结果均为零。 因此边界项整体为： $$\left[\frac{x^2}{2} \cdot \int_1^x \frac{\sin t^2}{t} dt\right]_0^1 = 0 - 0 = 0$$

当前步骤的目标是对剩余积分进行化简。上一步得到的剩余积分为 $-\int_0^1 \frac{x}{2} \sin x^2 \, dx$。首先，常数因子 $\frac{1}{2}$ 可以提到积分号外面，即： $$-\int_0^1 \frac{x}{2} \sin x^2 \, dx = -\frac{1}{2} \int_0^1 x \sin x^2 \, dx.$$ 这样，积分形式简化为 $-\frac{1}{2} \int_0^1 x \sin x^2 \, dx$。注意到被积函数 $x \sin x^2$ 具有明显的复合函数结构，其中 $x^2$ 的导数恰好是 $2x$，而这里有一个 $x$ 因子，因此可以通过换元法进一步处理。令 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$，即 $x \, dx = \frac{1}{2} du$。当 $x=0$ 时 $u=0$；当 $x=1$ 时 $u=1$。于是积分变为： $$\int_0^1 x \sin x^2 \, dx = \int_0^1 \sin u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_0^1 \sin u \, du.$$ 因此，原剩余积分化为： $$-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_0^1 \sin u \, du = -\frac{1}{4} \int_0^1 \sin u \, du.$$ 至此，剩余积分已化简为一个简单的正弦函数定积分，为下一步直接计算做好了准备。

本步骤采用换元法简化积分。令 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$，从而 $x \, dx = \frac{du}{2}$。同时，积分限需相应变换：当 $x = 0$ 时，$u = 0$；当 $x = 1$ 时，$u = 1$。原积分中的被积函数为 $\sin(x^2)$，代入后变为 $\sin u$。因此，原积分 $\int_0^1 x \sin(x^2) \, dx$ 可化为： $$ \int_0^1 x \sin(x^2) \, dx = \int_{u=0}^{u=1} \sin u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_0^1 \sin u \, du. $$ 注意，题目中给出的积分表达式前有一个负号（来自之前步骤的系数），因此实际需要计算的积分为 $-\frac{1}{2} \int_0^1 x \sin(x^2) \, dx$。将上述换元结果代入，得到： $$ -\frac{1}{2} \int_0^1 x \sin(x^2) \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_0^1 \sin u \, du = -\frac{1}{4} \int_0^1 \sin u \, du. $$ 至此，原积分已转化为关于 $u$ 的简单三角函数积分，下一步即可直接计算该定积分。

本步骤计算定积分 $\int_0^1 \sin u \, du$ 的值，并代入之前得到的系数 $\frac{1}{4}$ 以得到最终结果。 首先计算 $\int_0^1 \sin u \, du$。由微积分基本定理，$\sin u$ 的一个原函数为 $-\cos u$，因此 $$ \int_0^1 \sin u \, du = \left[ -\cos u \right]_0^1 = -\cos 1 - (-\cos 0) = -\cos 1 + \cos 0. $$ 由于 $\cos 0 = 1$，上式化为 $$ \int_0^1 \sin u \, du = 1 - \cos 1. $$ 回顾前一步骤，原积分表达式为 $-\frac{1}{4} \int_0^1 \sin u \, du$。将上述结果代入得 $$ -\frac{1}{4} \cdot (1 - \cos 1) = -\frac{1}{4} + \frac{\cos 1}{4} = \frac{\cos 1 - 1}{4}. $$ 因此，所求定积分的最终结果为 $\dfrac{\cos 1 - 1}{4}$。 **验证**：由于 $\cos 1 \approx 0.5403$，则 $\frac{\cos 1 - 1}{4} \approx \frac{-0.4597}{4} = -0.1149$。原积分被积函数在区间内为负，结果应为负数，与计算相符。此外，可通过数值积分快速验证：$\int_0^1 \sin u \, du \approx 0.4597$，乘以 $-1/4$ 得 $-0.1149$，一致。 最终答案：$\boxed{\dfrac{\cos 1 - 1}{4}}$。