2019年考研数学二第6题

已知极限条件： $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x) - g(x)}{(x-a)^2} = 0 $$ 分母 $(x-a)^2$ 当 $x \to a$ 时趋于 $0$。由于极限存在且为 $0$，根据极限的运算法则，若分母趋于 $0$ 而极限为有限值，则分子也必须趋于 $0$，否则极限将为无穷大。因此有： $$ \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = 0 $$ 假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x=a$ 处连续（题目隐含条件，通常由极限存在可推知函数在该点有定义且连续），则极限值等于函数值，即： $$ f(a) - g(a) = 0 $$ 从而得到： $$ f(a) = g(a) $$ 这一结论是后续步骤的基础，它表明在 $x=a$ 处两个函数值相等。

由步骤1已知极限条件： $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x) - g(x)}{(x - a)^2} = 0. $$ 由于当$x \to a$时，分子$f(x)-g(x) \to 0$（否则极限不存在或不为0），分母$(x-a)^2 \to 0$，该极限为$\frac{0}{0}$型未定式，满足洛必达法则的使用条件（$f$和$g$在$a$的某去心邻域内可导，且分母导数不为零）。对分子分母分别求导，得到： $$ \lim_{x \to a} \frac{f'(x) - g'(x)}{2(x - a)} = 0. $$ 此时，分母$2(x-a) \to 0$，若极限为0，则分子$f'(x)-g'(x)$也必须趋于0（否则极限会趋于无穷或非零常数）。因此有： $$ \lim_{x \to a} [f'(x) - g'(x)] = 0. $$ 由于$f'$和$g'$在$x=a$处连续（题目隐含条件或由可导性保证），可得： $$ f'(a) - g'(a) = 0, $$ 即 $$ f'(a) = g'(a). $$ 这一等式表明，在点$x=a$处，函数$f$和$g$的一阶导数相等。

由步骤2已得 $f'(a)=g'(a)$，且已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x=a$ 处具有连续的二阶导数。为证明 $f''(a)=g''(a)$，考虑极限式 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}=0$。由于分子分母均趋于0，且分母 $(x-a)^2$ 在 $x=a$ 处二阶可导，可再次应用洛必达法则。对分子分母分别求导，得： $$ \lim_{x\to a}\frac{f'(x)-g'(x)}{2(x-a)}=0. $$ 此时分子 $f'(x)-g'(x)$ 在 $x=a$ 处为0（由步骤2），分母 $2(x-a)$ 也为0，仍为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。由于 $f'(x)$ 与 $g'(x)$ 在 $x=a$ 处可导（二阶导存在），可再次使用洛必达法则，对分子分母分别求导，得： $$ \lim_{x\to a}\frac{f''(x)-g''(x)}{2}=0. $$ 由极限运算法则，该极限等于 $\frac{1}{2}\lim_{x\to a}[f''(x)-g''(x)]$。又因为 $f''(x)$ 与 $g''(x)$ 在 $x=a$ 处连续，所以 $\lim_{x\to a}f''(x)=f''(a)$，$\lim_{x\to a}g''(x)=g''(a)$。代入得： $$ \frac{1}{2}[f''(a)-g''(a)]=0, $$ 即 $f''(a)-g''(a)=0$，故 $f''(a)=g''(a)$。 另一种等价推导：利用导数定义。由 $f'(a)=g'(a)$，考虑二阶导数的定义： $$ f''(a)=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a},\quad g''(a)=\lim_{x\to a}\frac{g'(x)-g'(a)}{x-a}. $$ 由已知极限 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}=0$，使用一次洛必达法则得 $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)-g'(x)}{2(x-a)}=0$，即 $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)-g'(x)}{x-a}=0$。注意到 $f'(a)=g'(a)$，故 $$ \lim_{x\to a}\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a}-\lim_{x\to a}\frac{g'(x)-g'(a)}{x-a}=0, $$ 即 $f''(a)-g''(a)=0$，从而 $f''(a)=g''(a)$。 综上，利用洛必达法则或导数定义，结合二阶导数的连续性，成功推导出 $f''(a)=g''(a)$。

已知条件为：$f(a)=g(a)$，$f'(a)=g'(a)$，$f''(a)=g''(a)$。我们需要证明由这些条件可以推出两曲线在点$(a, f(a))$处具有相同的切线方程和相同的曲率，从而说明充分性成立。 首先，由$f(a)=g(a)$可知两曲线在$x=a$处相交于同一点$P(a, f(a))$。由$f'(a)=g'(a)$可知两曲线在点$P$处的切线斜率相等，因此切线方程相同，即两曲线在点$P$处相切。 其次，考虑曲率公式。对于曲线$y=f(x)$，曲率$k_f(x)$的计算公式为： $$k_f(x)=\frac{|f''(x)|}{\left[1+(f'(x))^2\right]^{3/2}}$$ 同理，曲线$y=g(x)$在$x=a$处的曲率为： $$k_g(a)=\frac{|g''(a)|}{\left[1+(g'(a))^2\right]^{3/2}}$$ 由$f'(a)=g'(a)$和$f''(a)=g''(a)$，代入上述公式可得$k_f(a)=k_g(a)$，即两曲线在点$P$处的曲率相等。 因此，条件$f(a)=g(a)$，$f'(a)=g'(a)$，$f''(a)=g''(a)$确实能推出两曲线在点$(a, f(a))$处相切且曲率相等，即充分性成立。

为了判断必要性是否成立，我们需要检验：若两个函数在$x=0$处相切且曲率相等，是否一定能推出极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-g(x)}{x^3}=0$。我们通过构造反例来否定这一命题。 取$f(x)=x^2$，$g(x)=x^2+x^3$。首先验证它们在$x=0$处相切： - $f(0)=0$，$g(0)=0$，所以函数值相等。 - $f'(x)=2x$，$f'(0)=0$；$g'(x)=2x+3x^2$，$g'(0)=0$，所以一阶导数相等。 因此两曲线在$x=0$处相切。 其次验证曲率相等。曲率公式为$k(x)=\frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}$。在$x=0$处，$f''(x)=2$，$f''(0)=2$；$g''(x)=2+6x$，$g''(0)=2$。且$f'(0)=g'(0)=0$，故$k_f(0)=\frac{2}{(1+0)^{3/2}}=2$，$k_g(0)=\frac{2}{(1+0)^{3/2}}=2$，曲率相等。 现在计算极限： $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-g(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - (x^2+x^3)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^3}{x^3} = -1 \neq 0.$$ 该极限不为0，因此原命题的必要性不成立。 综上，必要性不成立，原命题的充分必要条件不成立。