2019年考研数学二第7题

已知矩阵$A$是$4\times 4$矩阵，且齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$的基础解系中只有2个向量。基础解系中向量的个数即为解空间的维数，记作$\dim N(A)$。根据线性方程组理论，对于$n$元齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，有：$$\dim N(A)=n-\operatorname{rank}(A)$$其中$n$是未知数的个数，也就是矩阵$A$的列数。本题中$n=4$，基础解系有2个向量，故$\dim N(A)=2$。代入公式得：$$2=4-\operatorname{rank}(A)$$移项解得：$$\operatorname{rank}(A)=4-2=2$$因此，矩阵$A$的秩为2。这一结论是后续步骤的基础，因为矩阵的秩决定了其行空间、列空间以及零空间的维数，进而影响特征值、特征向量以及相似对角化等问题的分析。

由步骤2已知，矩阵 $A$ 的秩 $r(A) = 1$。对于 $n$ 阶矩阵 $A$，若 $r(A) < n-1$，则其伴随矩阵 $A^*$ 的秩为 $0$。这里 $n = 3$，$n-1 = 2$，而 $r(A) = 1 < 2$，因此满足定理条件。根据伴随矩阵秩的定理： - 若 $r(A) = n$，则 $r(A^*) = n$； - 若 $r(A) = n-1$，则 $r(A^*) = 1$； - 若 $r(A) < n-1$，则 $r(A^*) = 0$。 由于 $r(A) = 1 < 2$，故 $r(A^*) = 0$，即 $A^*$ 是零矩阵。因此，$A^*$ 的所有元素均为 $0$，特别地，其 $(1,1)$ 元（即代数余子式 $A_{11}$）等于 $0$。 接下来，我们利用 $A_{11} = 0$ 建立方程。$A_{11}$ 是元素 $a_{11}$ 的代数余子式，即去掉第1行第1列后的 $2$ 阶子式乘以 $(-1)^{1+1}$： $$A_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}.$$ 由 $A_{11} = 0$ 得 $a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} = 0$。 又因为 $r(A)=1$，矩阵 $A$ 的所有 $2$ 阶子式均为 $0$，所以实际上所有代数余子式均为 $0$，这与 $A^*$ 是零矩阵一致。但仅需 $A_{11}=0$ 即可得到一个方程。 此时，我们已得到关于矩阵元素的一个关系式，为下一步求解参数提供了条件。