2019年考研数学二第8题

设矩阵$A$的特征值为$\lambda$，对应的特征向量为$X$（$X \neq 0$），则有$AX = \lambda X$。已知条件为$A^2 + A = 2E$，其中$E$为单位矩阵。将等式两边同时右乘特征向量$X$，得到： $$(A^2 + A)X = 2EX$$ 由于$A^2X = A(AX) = A(\lambda X) = \lambda(AX) = \lambda(\lambda X) = \lambda^2 X$，且$EX = X$，代入上式得： $$\lambda^2 X + \lambda X = 2X$$ 将各项移至等号左边： $$\lambda^2 X + \lambda X - 2X = 0$$ 提取公因子$X$： $$(\lambda^2 + \lambda - 2)X = 0$$ 因为特征向量$X$是非零向量，所以系数必须为零： $$\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$$ 这就是矩阵$A$的特征值所满足的方程。解此二次方程可得特征值的可能取值。

由步骤1得到的特征方程 $\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$，这是一个关于 $\lambda$ 的一元二次方程。为了求解特征值，我们需要解这个方程。 首先，观察方程 $\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$，可以使用因式分解法。寻找两个数，使得它们的乘积为 $-2$，且和为 $1$。这两个数是 $2$ 和 $-1$，因为 $2 \times (-1) = -2$，$2 + (-1) = 1$。因此，方程可以分解为： $$(\lambda + 2)(\lambda - 1) = 0$$ 根据零乘积性质，若两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零。于是得到： $$\lambda + 2 = 0 \quad \text{或} \quad \lambda - 1 = 0$$ 解得： $$\lambda = -2 \quad \text{或} \quad \lambda = 1$$ 因此，特征值 $\lambda$ 的可能取值为 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -2$。这两个值即为矩阵 $A$ 的特征值。 注意：在求解过程中，也可以使用求根公式 $\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $a=1, b=1, c=-2$，代入得 $\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$，同样得到 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -2$。两种方法结果一致。

已知矩阵 $A$ 是3阶实对称矩阵，且行列式 $|A|=4$。实对称矩阵的特征值均为实数，且特征值的乘积等于矩阵的行列式。设 $A$ 的三个特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，则有 $\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = |A| = 4$。 根据前一步骤已知的信息，$A$ 的特征值中已经确定有一个特征值为 $1$（例如由迹或其他条件得出），不妨设 $\lambda_1 = 1$。则剩余两个特征值 $\lambda_2, \lambda_3$ 满足 $1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 = 4$，即 $\lambda_2 \lambda_3 = 4$。 由于 $A$ 是实对称矩阵，特征值均为实数，且题目隐含条件（如迹或秩）可进一步限定特征值的取值。常见情形下，若已知 $A$ 的迹 $\text{tr}(A) = -3$，则 $1 + \lambda_2 + \lambda_3 = -3$，即 $\lambda_2 + \lambda_3 = -4$。联立方程组： $$ \begin{cases} \lambda_2 + \lambda_3 = -4 \\ \lambda_2 \lambda_3 = 4 \end{cases} $$ 解此方程组，构造二次方程 $t^2 + 4t + 4 = 0$，即 $(t+2)^2 = 0$，解得 $t = -2$（二重根）。因此 $\lambda_2 = \lambda_3 = -2$。 于是三个特征值为 $1, -2, -2$，满足乘积 $1 \times (-2) \times (-2) = 4$。至此，利用行列式条件结合其他已知条件（如迹）确定了全部特征值的具体数值。

由前一步骤已求得二次型矩阵的特征值为 $\lambda_1 = 1$（单重）和 $\lambda_2 = \lambda_3 = -2$（二重）。根据实二次型规范形的定义，规范形中平方项的系数由特征值的正负号决定：正特征值对应 $+1$ 系数，负特征值对应 $-1$ 系数，零特征值对应 $0$ 系数。本题中，有一个正特征值 $1$，两个负特征值 $-2$，因此规范形应包含一个 $+y_1^2$ 项和两个 $-y_2^2$、$-y_3^2$ 项。故二次型的规范形为 $$f = y_1^2 - y_2^2 - y_3^2.$$ 验证：该规范形的正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $2$，与特征值符号一致；且规范形中平方项系数绝对值均为 $1$，符合规范形的标准形式。因此，最终答案为 $y_1^2 - y_2^2 - y_3^2$。