2020年考研数学二第11题

已知函数 $z = \arctan[xy + \sin(x+y)]$，需要求 $z$ 关于 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$。 令 $u = xy + \sin(x+y)$，则 $z = \arctan u$。根据复合函数求导的链式法则，有 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{dz}{du} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}. $$ 首先，$\frac{dz}{du} = \frac{1}{1+u^2}$。 其次，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$。$u = xy + \sin(x+y)$，对 $x$ 求偏导时，将 $y$ 视为常数。 - 第一项 $xy$ 对 $x$ 的偏导为 $y$。 - 第二项 $\sin(x+y)$ 对 $x$ 的偏导为 $\cos(x+y) \cdot 1 = \cos(x+y)$。 所以 $$ \frac{\partial u}{\partial x} = y + \cos(x+y). $$ 将以上结果代入链式法则，得 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1+u^2} \cdot [y + \cos(x+y)] = \frac{y + \cos(x+y)}{1 + [xy + \sin(x+y)]^2}. $$ 因此，偏导函数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的表达式为 $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y + \cos(x+y)}{1 + (xy + \sin(x+y))^2}. $$

已知函数 $z = \arctan[xy + \sin(x+y)]$，要求 $\frac{\partial z}{\partial y}$。 将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求偏导。令 $u = xy + \sin(x+y)$，则 $z = \arctan u$。 由链式法则： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{d(\arctan u)}{du} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}. $$ 计算 $\frac{\partial u}{\partial y}$： $$ u = xy + \sin(x+y), $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(xy) + \frac{\partial}{\partial y}[\sin(x+y)] = x + \cos(x+y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x+y) = x + \cos(x+y) \cdot 1 = x + \cos(x+y). $$ 将 $u$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 代入链式法则： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1+[xy+\sin(x+y)]^2} \cdot [x + \cos(x+y)] = \frac{x + \cos(x+y)}{1+[xy+\sin(x+y)]^2}. $$ 因此，所求偏导函数为： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x + \cos(x+y)}{1+[xy+\sin(x+y)]^2}. $$

本步骤的目标是将点 $(0, \pi)$ 代入之前求得的偏导函数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 中，计算出具体的数值。 首先，回顾上一步得到的偏导函数： $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y + \cos(xy)}{1 + (xy)^2} \cdot y = \frac{y^2 + y\cos(xy)}{1 + x^2 y^2}$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y + \cos(xy)}{1 + (xy)^2} \cdot x = \frac{xy + x\cos(xy)}{1 + x^2 y^2}$$ 现在代入 $x = 0$，$y = \pi$。 **计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 在 $(0, \pi)$ 处的值：** $$\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(0,\pi)} = \frac{\pi^2 + \pi \cos(0 \cdot \pi)}{1 + 0^2 \cdot \pi^2} = \frac{\pi^2 + \pi \cos 0}{1 + 0} = \frac{\pi^2 + \pi \cdot 1}{1} = \pi^2 + \pi$$ **计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在 $(0, \pi)$ 处的值：** $$\left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(0,\pi)} = \frac{0 \cdot \pi + 0 \cdot \cos(0 \cdot \pi)}{1 + 0^2 \cdot \pi^2} = \frac{0 + 0}{1} = 0$$ 因此，在点 $(0, \pi)$ 处，偏导数的值为： $$\frac{\partial z}{\partial x} = \pi^2 + \pi, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 0$$

已知函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(0, \pi)$ 处的偏导数值为： $$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(0,\pi)} = \pi - 1, \quad \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(0,\pi)} = -1.$$ 根据全微分的定义，函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的全微分公式为： $$\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y.$$ 将点 $(0, \pi)$ 处的偏导数值代入上式，得到： $$\mathrm{d}z\big|_{(0,\pi)} = (\pi - 1)\mathrm{d}x + (-1)\mathrm{d}y = (\pi - 1)\mathrm{d}x - \mathrm{d}y.$$ 因此，函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(0, \pi)$ 处的全微分表达式为： $$\boxed{\mathrm{d}z\big|_{(0,\pi)} = (\pi - 1)\mathrm{d}x - \mathrm{d}y}.$$ **验证**：全微分表达式应满足线性逼近的性质。若取微小增量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$，则函数值的改变量 $\Delta z \approx (\pi - 1)\Delta x - \Delta y$。该表达式与前面步骤中求得的偏导数一致，且符合全微分的定义形式，故结果正确。