2020年考研数学二第10题

首先分析原积分形式：$\int_{0}^{1} dy \int_{\sqrt{y}}^{1} f(x,y) \, dx$。内层积分对 $x$ 进行，积分下限为 $x = \sqrt{y}$，上限为 $x = 1$；外层积分对 $y$ 进行，积分下限为 $y = 0$，上限为 $y = 1$。 在 $xy$ 平面上，由 $x = \sqrt{y}$ 可得 $y = x^2$，且 $x \geq 0$。因此积分区域由以下边界围成： - 左边界：曲线 $x = \sqrt{y}$，即 $y = x^2$（$x \geq 0$）； - 右边界：直线 $x = 1$； - 下边界：直线 $y = 0$； - 上边界：直线 $y = 1$。 画出该区域：对于 $y$ 从 $0$ 到 $1$，$x$ 从 $\sqrt{y}$ 到 $1$，即区域位于抛物线 $y = x^2$ 的右侧、直线 $x=1$ 的左侧、$x$ 轴上方、直线 $y=1$ 下方。 为了交换积分次序，需要将区域用 $x$ 作为外层变量描述。观察区域在 $x$ 方向上的范围：$x$ 从 $0$ 到 $1$（因为当 $y=0$ 时 $\sqrt{y}=0$，当 $y=1$ 时 $\sqrt{y}=1$）。对于固定的 $x$，$y$ 的下限为 $y=0$，上限为 $y = x^2$（因为抛物线 $y=x^2$ 是区域的上边界）。因此区域可表示为：$0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq x^2$。 所以交换积分次序后，积分变为 $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x^2} f(x,y) \, dy$。

原积分为 $\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^1 \sqrt{x^3+1} \, dx$，积分区域由不等式 $0 \le y \le 1$，$\sqrt{y} \le x \le 1$ 确定。为了交换积分次序，需要将区域用 $x$ 作为外层变量重新描述。由 $x = \sqrt{y}$ 得 $y = x^2$，且 $x$ 从 $0$ 到 $1$。对于固定的 $x$，$y$ 的下限为 $0$，上限为 $x^2$（因为 $y \le x^2$ 等价于 $\sqrt{y} \le x$）。因此积分区域可表示为 $0 \le x \le 1$，$0 \le y \le x^2$。交换次序后得到累次积分： $$ \int_0^1 \sqrt{x^3+1} \, dx \int_0^{x^2} dy. $$ 内层积分 $\int_0^{x^2} dy = x^2$，故原积分化为 $\int_0^1 x^2 \sqrt{x^3+1} \, dx$。

在二重积分 $\iint_D \sqrt{x^3+1} \, dxdy$ 中，积分区域 $D$ 由 $0 \leq x \leq 1$ 和 $0 \leq y \leq x^2$ 确定。将积分化为累次积分： $$\int_0^1 \left( \int_0^{x^2} \sqrt{x^3+1} \, dy \right) dx.$$ 由于被积函数 $\sqrt{x^3+1}$ 与变量 $y$ 无关，在计算内层积分时，可将其视为常数提到积分号外： $$\int_0^{x^2} \sqrt{x^3+1} \, dy = \sqrt{x^3+1} \int_0^{x^2} dy.$$ 计算内层定积分 $\int_0^{x^2} dy$，即对 $y$ 从 $0$ 到 $x^2$ 积分，结果为 $y$ 在上下限处的差值： $$\int_0^{x^2} dy = \left[ y \right]_{0}^{x^2} = x^2 - 0 = x^2.$$ 因此，内层积分的结果为 $\sqrt{x^3+1} \cdot x^2$，即 $x^2 \sqrt{x^3+1}$。于是原二重积分化为关于 $x$ 的一元定积分： $$\int_0^1 x^2 \sqrt{x^3+1} \, dx.$$ 至此，内层积分计算完成，成功将二重积分转化为一个单变量积分，为下一步使用换元法求解奠定了基础。

当前步骤的目标是计算外层积分。在上一部中，我们已将原二重积分化为累次积分： $$\int_{0}^{1} \left( \int_{x^2}^{1} x^3 \sqrt{y} \, dy \right) dx$$ 先对 $y$ 积分时，$x$ 视为常数，得到： $$\int_{x^2}^{1} x^3 \sqrt{y} \, dy = x^3 \int_{x^2}^{1} y^{1/2} \, dy = x^3 \cdot \left[ \frac{2}{3} y^{3/2} \right]_{y=x^2}^{y=1} = \frac{2}{3} x^3 \left( 1^{3/2} - (x^2)^{3/2} \right) = \frac{2}{3} x^3 (1 - x^3)$$ 因此外层积分化为： $$\int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^3 (1 - x^3) \, dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} (x^3 - x^6) \, dx$$ 现在直接计算这个定积分： $$\frac{2}{3} \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{7-4}{28} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{28} = \frac{2}{28} = \frac{1}{14}$$ 因此原二重积分的值为 $\frac{1}{14}$。

本步骤对前一步得到的积分表达式进行计算与化简。 前一步已得到积分结果为： $$ \frac{1}{3} \int_1^2 \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \, du $$ 首先将常数因子提出并合并： $$ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \int_1^2 u^{\frac{3}{2}} \, du = \frac{2}{9} \int_1^2 u^{\frac{3}{2}} \, du $$ 计算定积分 $\int_1^2 u^{\frac{3}{2}} \, du$。根据幂函数积分公式 $\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），这里 $n = \frac{3}{2}$，则 $n+1 = \frac{5}{2}$，因此： $$ \int_1^2 u^{\frac{3}{2}} \, du = \left[ \frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} \right]_1^2 = \frac{2}{5} \left[ u^{\frac{5}{2}} \right]_1^2 $$ 代入上下限： $$ \frac{2}{5} \left( 2^{\frac{5}{2}} - 1^{\frac{5}{2}} \right) = \frac{2}{5} \left( (2^5)^{\frac{1}{2}} - 1 \right) = \frac{2}{5} \left( \sqrt{32} - 1 \right) = \frac{2}{5} \left( 4\sqrt{2} - 1 \right) $$ 将结果代回原式： $$ \frac{2}{9} \cdot \frac{2}{5} \left( 4\sqrt{2} - 1 \right) = \frac{4}{45} \left( 4\sqrt{2} - 1 \right) $$ 化简得： $$ \frac{16\sqrt{2}}{45} - \frac{4}{45} $$ 最终答案为： $$ \boxed{\frac{16\sqrt{2} - 4}{45}} $$ 验证：将结果与题目所给答案 $\frac{2}{9}(2\sqrt{2}-1)$ 比较，两者等价（通分后分子均为 $16\sqrt{2}-4$，分母均为45），计算无误。