2020年考研数学二第9题

首先，已知参数方程： $$x = \sqrt{t^2 + 1}, \quad y = \ln\left(t + \sqrt{t^2 + 1}\right)$$ 我们需要分别求出 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$。 **1. 求 $\frac{dx}{dt}$** 将 $x = \sqrt{t^2 + 1}$ 视为 $(t^2 + 1)^{1/2}$，利用链式法则求导： $$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}(t^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2t = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}$$ 因此， $$\frac{dx}{dt} = \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}$$ **2. 求 $\frac{dy}{dt}$** 令 $u = t + \sqrt{t^2 + 1}$，则 $y = \ln u$。由链式法则： $$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dt}$$ 先求 $\frac{du}{dt}$： $$\frac{du}{dt} = 1 + \frac{d}{dt}\left(\sqrt{t^2 + 1}\right) = 1 + \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}$$ 将 $\frac{du}{dt}$ 和 $u$ 代入： $$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t + \sqrt{t^2 + 1}} \cdot \left(1 + \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}\right)$$ 将括号内通分： $$1 + \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{\sqrt{t^2 + 1} + t}{\sqrt{t^2 + 1}}$$ 因此， $$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t + \sqrt{t^2 + 1}} \cdot \frac{t + \sqrt{t^2 + 1}}{\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}}$$ 所以， $$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}}$$ 至此，我们得到了两个导数表达式。

已知参数方程 $x = t^2$，$y = \ln t$（$t > 0$）。要求一阶导数 $\frac{dy}{dx}$，可利用参数方程求导公式： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}. $$ 首先分别计算 $x$ 和 $y$ 对参数 $t$ 的导数： 对 $x = t^2$ 求导得： $$ \frac{dx}{dt} = 2t. $$ 对 $y = \ln t$ 求导得： $$ \frac{dy}{dt} = \frac{1}{t}. $$ 将上述结果代入公式： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1/t}{2t} = \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2t} = \frac{1}{2t^2}. $$ 因此，一阶导数 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2t^2}$。注意，步骤概要中给出的 $dy/dx = 1/t$ 是错误的，正确结果应为 $\frac{1}{2t^2}$。

已知一阶导数 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{t}$，且参数 $t$ 与 $x$ 的关系由 $x = \ln(t + \sqrt{t^2 + 1})$ 给出。为求二阶导数 $\frac{d^2 y}{dx^2}$，需利用参数方程求导公式：$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$。 首先，对 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{t}$ 关于 $t$ 求导： $$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right) = -\frac{1}{t^2}.$$ 其次，计算 $\frac{dt}{dx}$。由 $x = \ln(t + \sqrt{t^2 + 1})$ 可得 $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t + \sqrt{t^2 + 1}} \cdot \left(1 + \frac{t}{\sqrt{t^2 + 1}}\right) = \frac{1}{t + \sqrt{t^2 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{t^2 + 1} + t}{\sqrt{t^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{t^2 + 1}}$。因此，$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}} = \sqrt{t^2 + 1}$。 最后，将两部分相乘得到二阶导数： $$\frac{d^2 y}{dx^2} = \left(-\frac{1}{t^2}\right) \cdot \sqrt{t^2 + 1} = -\frac{\sqrt{t^2 + 1}}{t^3}.$$ 注意：此处 $t$ 为参数，最终结果以 $t$ 表示。

本步骤的目标是将参数 $t=1$ 代入二阶导数表达式，计算出具体的数值结果。 首先，回顾前一步得到的二阶导数表达式： $$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^3}$$ 现在将 $t=1$ 代入该表达式： $$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{t=1} = -\frac{\sqrt{1^2+1}}{1^3}$$ 计算分子：$1^2+1 = 2$，所以 $\sqrt{2}$ 保持不变。 计算分母：$1^3 = 1$。 因此： $$\frac{d^2y}{dx^2}\bigg|_{t=1} = -\frac{\sqrt{2}}{1} = -\sqrt{2}$$ 最终得到二阶导数在 $t=1$ 处的值为 $-\sqrt{2}$。 【答案验证】 本题为选择题，选项为： A. $-\sqrt{2}$ \quad B. $\sqrt{2}$ \quad C. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ \quad D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 计算所得结果为 $-\sqrt{2}$，对应选项 A。验证无误。 因此，最终答案为 $\boxed{-\sqrt{2}}$。