2020年考研数学二第8题

首先，我们需要仔细梳理题目给出的所有已知条件。题目中明确说明：$\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 是矩阵 $A$ 属于特征值 $1$ 的两个线性无关的特征向量。这意味着 $A\alpha_1 = 1 \cdot \alpha_1 = \alpha_1$，$A\alpha_2 = 1 \cdot \alpha_2 = \alpha_2$，且 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 线性无关，即它们不共线，且不能由对方线性表示。另外，$\alpha_3$ 是矩阵 $A$ 属于特征值 $-1$ 的特征向量，即 $A\alpha_3 = -1 \cdot \alpha_3 = -\alpha_3$。由于不同特征值对应的特征向量线性无关，因此 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三个线性无关的向量。由此可知，矩阵 $A$ 至少有三个线性无关的特征向量，但题目并未说明 $A$ 的阶数，通常我们默认 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，或者至少 $A$ 的阶数不小于 $3$。这些条件将在后续步骤中用于构造矩阵 $P$ 和对角化计算。特别地，特征值 $1$ 的几何重数至少为 $2$（因为有两个线性无关的特征向量），而特征值 $-1$ 的几何重数至少为 $1$。这些信息是后续解题的基础。

已知题目要求将矩阵$A$相似对角化，且目标对角矩阵为$\Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。因此，对角矩阵$\Lambda$的主对角线元素依次为$1, -1, 1$，分别对应三个特征值。 设可逆矩阵$P = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$，其中$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$为列向量。根据相似对角化的定义，有$P^{-1}AP = \Lambda$，即$AP = P\Lambda$。将$P$按列分块，可得： $$A\boldsymbol{\alpha}_1 = 1 \cdot \boldsymbol{\alpha}_1, \quad A\boldsymbol{\alpha}_2 = (-1) \cdot \boldsymbol{\alpha}_2, \quad A\boldsymbol{\alpha}_3 = 1 \cdot \boldsymbol{\alpha}_3.$$ 这表明$\boldsymbol{\alpha}_1$和$\boldsymbol{\alpha}_3$是矩阵$A$对应于特征值$1$的特征向量，而$\boldsymbol{\alpha}_2$是矩阵$A$对应于特征值$-1$的特征向量。 因此，在构造可逆矩阵$P$时，第一列应取特征值$1$的一个特征向量，第二列应取特征值$-1$的一个特征向量，第三列应取特征值$1$的另一个与第一列线性无关的特征向量。注意，由于特征值$1$是二重根，其几何重数（即线性无关特征向量的个数）必须等于$2$，才能保证$P$可逆。 综上所述，目标对角矩阵各列对应的特征值分别为：第1列对应特征值$1$，第2列对应特征值$-1$，第3列对应特征值$1$。

选项A为 $(\alpha_1+\alpha_3,\ \alpha_2,\ -\alpha_3)$。我们需要判断这三个向量是否构成一组特征向量。 首先，已知 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是矩阵 $A$ 的属于不同特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 的特征向量，即 $A\alpha_i = \lambda_i\alpha_i$（$i=1,2,3$），且 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 互不相同。 考虑第一个向量 $\alpha_1+\alpha_3$。若它是特征向量，则存在某个数 $\mu$ 使得 $A(\alpha_1+\alpha_3) = \mu(\alpha_1+\alpha_3)$。计算左边： $$A(\alpha_1+\alpha_3) = A\alpha_1 + A\alpha_3 = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_3\alpha_3.$$ 右边为 $\mu\alpha_1 + \mu\alpha_3$。于是有 $$\lambda_1\alpha_1 + \lambda_3\alpha_3 = \mu\alpha_1 + \mu\alpha_3.$$ 移项得 $$(\lambda_1-\mu)\alpha_1 + (\lambda_3-\mu)\alpha_3 = 0.$$ 由于 $\alpha_1$ 与 $\alpha_3$ 属于不同特征值，它们线性无关，因此系数必须全为零： $$\lambda_1-\mu = 0,\quad \lambda_3-\mu = 0.$$ 这推出 $\lambda_1 = \mu = \lambda_3$，与 $\lambda_1 \neq \lambda_3$ 矛盾。所以 $\alpha_1+\alpha_3$ 不是 $A$ 的特征向量。 既然第一个向量就不是特征向量，那么整个向量组 $(\alpha_1+\alpha_3,\ \alpha_2,\ -\alpha_3)$ 不能构成一组特征向量。因此选项A错误。 注意：第二个向量 $\alpha_2$ 本身就是特征向量，第三个向量 $-\alpha_3$ 也是特征向量（因为特征向量乘以非零常数仍是特征向量），但第一个向量不满足条件，故整体不成立。

选项B为矩阵$(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, -\alpha_3)$。我们需要判断该矩阵是否可逆，且其列向量是否为$A$的特征向量，并对应正确的特征值。 首先，已知$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$是$A$的属于特征值$1,1,-1$的特征向量，即$A\alpha_1=\alpha_1$，$A\alpha_2=\alpha_2$，$A\alpha_3=-\alpha_3$。 检查第一列$\alpha_1+\alpha_2$： $$A(\alpha_1+\alpha_2)=A\alpha_1+A\alpha_2=\alpha_1+\alpha_2$$ 所以$\alpha_1+\alpha_2$是$A$的属于特征值$1$的特征向量。 检查第二列$\alpha_2$： $$A\alpha_2=\alpha_2$$ 所以$\alpha_2$是$A$的属于特征值$1$的特征向量。 检查第三列$-\alpha_3$： $$A(-\alpha_3)=-A\alpha_3=-(-\alpha_3)=\alpha_3$$ 注意这里计算有误：实际上$A(-\alpha_3)= -A\alpha_3 = -(-\alpha_3) = \alpha_3$，而$-\alpha_3$对应的特征值应为$1$？重新计算： $$A(-\alpha_3) = -A\alpha_3 = -(-\alpha_3) = \alpha_3 = (-1)\cdot(-\alpha_3)$$ 所以$A(-\alpha_3) = (-1)\cdot(-\alpha_3)$，即$-\alpha_3$是$A$的属于特征值$-1$的特征向量，正确。 但题目要求第二列对应的特征值应为$-1$，而这里第二列$\alpha_2$对应的特征值是$1$，不满足“第二列对应特征值-1”的条件。因此选项B不符合要求。 此外，还需验证矩阵是否可逆。由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，$\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, -\alpha_3$也线性无关（因为可逆线性变换），故矩阵可逆。但特征值对应关系错误，排除选项B。

选项C给出的向量组为 $(\alpha_1+\alpha_3,\; -\alpha_3,\; \alpha_2)$。我们需要判断这三个向量是否都是矩阵 $A$ 的特征向量。 首先检查第一个向量 $\alpha_1+\alpha_3$。已知 $\alpha_1$ 和 $\alpha_3$ 分别是属于不同特征值 $\lambda_1$ 和 $\lambda_3$ 的特征向量，且 $\lambda_1 \neq \lambda_3$。计算 $A(\alpha_1+\alpha_3) = A\alpha_1 + A\alpha_3 = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_3\alpha_3$。若 $\alpha_1+\alpha_3$ 是特征向量，则存在某个数 $\mu$ 使得 $\lambda_1\alpha_1 + \lambda_3\alpha_3 = \mu(\alpha_1+\alpha_3)$，即 $(\lambda_1-\mu)\alpha_1 + (\lambda_3-\mu)\alpha_3 = 0$。由于 $\alpha_1$ 与 $\alpha_3$ 线性无关（属于不同特征值的特征向量必线性无关），因此必须有 $\lambda_1-\mu=0$ 且 $\lambda_3-\mu=0$，从而 $\lambda_1=\lambda_3$，与已知矛盾。所以 $\alpha_1+\alpha_3$ 不是特征向量，选项C被排除。 （注：第二个向量 $-\alpha_3$ 是特征向量，第三个向量 $\alpha_2$ 也是特征向量，但第一个向量不是，故整个选项不成立。）

选项D给出的矩阵为$(\alpha_1+\alpha_2,\; -\alpha_3,\; \alpha_2)$。我们需要验证该矩阵是否满足题目条件：其列向量均为特征向量，且对应的特征值依次为$1,\; -1,\; 1$，同时三个列向量线性无关。\n\n首先，检查第一列$\alpha_1+\alpha_2$。已知$\alpha_1$和$\alpha_2$都是属于特征值$1$的特征向量，因此$A\alpha_1 = \alpha_1$，$A\alpha_2 = \alpha_2$。于是$A(\alpha_1+\alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2 = \alpha_1 + \alpha_2$，所以$\alpha_1+\alpha_2$确实是属于特征值$1$的特征向量。\n\n第二列是$-\alpha_3$。已知$\alpha_3$是属于特征值$-1$的特征向量，即$A\alpha_3 = -\alpha_3$。那么$A(-\alpha_3) = -A\alpha_3 = -(-\alpha_3) = \alpha_3$，但注意：$-\alpha_3$与$\alpha_3$只差一个非零常数倍，因此$-\alpha_3$也属于特征值$-1$（因为$A(-\alpha_3) = -(-\alpha_3) = \alpha_3 = -1 \cdot (-\alpha_3)$，实际上$A(-\alpha_3) = -(-\alpha_3) = \alpha_3$，而$-1 \cdot (-\alpha_3) = \alpha_3$，所以$A(-\alpha_3) = -1 \cdot (-\alpha_3)$成立）。故第二列对应特征值$-1$。\n\n第三列是$\alpha_2$，已知它属于特征值$1$。\n\n现在需要验证三列线性无关。由于$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关（题目条件），我们考虑向量组$\alpha_1+\alpha_2,\; -\alpha_3,\; \alpha_2$。设存在数$k_1,k_2,k_3$使得\n$$k_1(\alpha_1+\alpha_2) + k_2(-\alpha_3) + k_3\alpha_2 = 0.$$\n整理得\n$$k_1\alpha_1 + (k_1+k_3)\alpha_2 - k_2\alpha_3 = 0.$$\n由于$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，系数必须全为零：\n$$k_1 = 0,\quad k_1+k_3 = 0,\quad -k_2 = 0.$$\n解得$k_1=0,\;k_2=0,\;k_3=0$，因此三列线性无关。\n\n综上，选项D的矩阵由三个线性无关的特征向量构成，且特征值依次为$1,\;-1,\;1$，完全满足题目要求。因此选项D正确。