2020年考研数学二第7题

已知矩阵 $A$ 为 $4 \times 4$ 矩阵，且 $r(A)=3$，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的秩 $r(A^*)$ 满足：当 $r(A)=n-1$ 时，$r(A^*)=1$。此处 $n=4$，故 $r(A^*)=1$。 考虑齐次线性方程组 $A^*X=0$，其解空间维数（即基础解系所含向量个数）等于 $n - r(A^*) = 4 - 1 = 3$。因此，$A^*X=0$ 的通解中含有 3 个线性无关的向量。 推导依据：对于 $n$ 元齐次线性方程组 $A^*X=0$，解空间的维数等于未知量个数减去系数矩阵的秩，即 $\dim\ker(A^*) = n - r(A^*)$。代入 $n=4$，$r(A^*)=1$，得 $\dim\ker(A^*)=3$。 因此，$A^*X=0$ 的解空间维数为 3，通解形式为 $X = k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + k_3\xi_3$，其中 $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ 为任意一组基础解系，$k_1,k_2,k_3$ 为任意常数。

由题设条件，矩阵 $A$ 为 $4 \times 4$ 矩阵，且已知 $A_{12} \neq 0$，其中 $A_{12}$ 是元素 $a_{12}$ 的代数余子式。代数余子式 $A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -M_{12}$，因此 $A_{12} \neq 0$ 等价于 $M_{12} \neq 0$。$M_{12}$ 是去掉第1行和第2列后得到的 $3 \times 3$ 子式。 现在考虑矩阵 $A$ 的列向量组：设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 分别为 $A$ 的第1、2、3、4列。由 $M_{12} \neq 0$ 可知，去掉第1行和第2列后得到的 $3 \times 3$ 子式非零，该子式对应的列是第1、3、4列（因为去掉了第2列），对应的行是第2、3、4行（因为去掉了第1行）。因此，向量组 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 在去掉第1行后得到的 $3$ 维向量组线性无关，从而原 $4$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 也线性无关。 进一步，由于 $A$ 是 $4 \times 4$ 矩阵，且 $A_{12} \neq 0$，说明矩阵 $A$ 的秩至少为 $3$。而 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，它们构成 $A$ 的列空间的一组基的一部分。因此，我们找到了一个线性无关的列向量组 $\{\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4\}$。

已知矩阵 $A$ 为三阶矩阵，且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 为列向量。由前序步骤已得 $A$ 的秩 $r(A)=2$，且 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关。 由于 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，其伴随矩阵 $A^*$ 满足性质：$A^*A = |A|E$。由题设条件可知 $|A|=0$（因为 $r(A)=2<3$），因此 $A^*A = 0$，即 $A^*A$ 为零矩阵。 将 $A^*A = 0$ 按列分块：设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$（注意此处 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为 $A$ 的列向量，而题目中给出的 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 是四个列向量，其中 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 恰好是 $A$ 的列，$\alpha_4$ 是另一个向量），则 $$A^*A = A^*(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (A^*\alpha_1, A^*\alpha_2, A^*\alpha_3) = 0.$$ 由此可得 $A^*\alpha_1 = 0$，$A^*\alpha_2 = 0$，$A^*\alpha_3 = 0$，即 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 都是齐次线性方程组 $A^*X=0$ 的解。 又因为 $\alpha_4$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合（由题设条件可知 $\alpha_4 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$），所以 $$A^*\alpha_4 = A^*(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3) = A^*\alpha_1 + A^*\alpha_2 + A^*\alpha_3 = 0+0+0 = 0,$$ 故 $\alpha_4$ 也是 $A^*X=0$ 的解。 因此 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 都是 $A^*X=0$ 的解。由于 $r(A)=2$，可知 $r(A^*)=0$（因为 $A$ 为三阶矩阵且 $r(A)=2$ 时，$A^*$ 的秩为0，即 $A^*=0$），所以 $A^*X=0$ 的解空间是整个 $\mathbb{R}^3$，任意三个线性无关的向量都可构成基础解系。而 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，故它们构成 $A^*X=0$ 的一个基础解系。 最终验证：$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 满足 $A^*X=0$，且线性无关，因此是基础解系。