2020年考研数学二第6题

首先，根据题目条件，我们需要构造一个合适的辅助函数来利用已知的导数信息。观察题目中给出的条件涉及函数 $f(x)$ 及其导数 $f'(x)$ 的关系，常见技巧是考虑函数 $F(x) = \frac{f(x)}{e^x}$。构造该函数的理由如下： 对 $F(x)$ 求导，利用商的求导法则： $$F'(x) = \frac{f'(x) e^x - f(x) e^x}{(e^x)^2} = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x}.$$ 题目已知条件中往往包含 $f'(x) - f(x)$ 的符号信息，因此 $F'(x)$ 的符号与 $f'(x) - f(x)$ 的符号相同（因为分母 $e^x > 0$）。这样，通过分析 $F'(x)$ 的符号，就可以判断 $F(x)$ 的单调性，进而得到 $f(x)$ 的某些性质。 在本步骤中，我们只需明确构造出 $F(x) = \frac{f(x)}{e^x}$，并写出其导数表达式。后续步骤将利用题目给出的具体条件（例如 $f'(x) > f(x)$ 或 $f'(x) < f(x)$）来确定 $F'(x)$ 的符号，从而完成证明或求解。

为了判断函数$F(x)=\frac{f(x)}{e^x}$在区间$[-2,2]$上的单调性，我们需要计算其导数$F'(x)$。利用商的求导法则： $$F'(x)=\frac{f'(x)e^x - f(x)e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x[f'(x)-f(x)]}{e^{2x}} = \frac{f'(x)-f(x)}{e^x}.$$ 已知条件中给出$f'(x) > f(x)$对任意$x$成立，因此分子$f'(x)-f(x) > 0$。而分母$e^x > 0$恒成立，所以$F'(x) = \frac{f'(x)-f(x)}{e^x} > 0$对区间$[-2,2]$内的一切$x$均成立。 由于导数在区间上恒大于零，根据函数单调性的判定定理，函数$F(x)$在闭区间$[-2,2]$上严格单调递增。这一结论是后续判断$F(x)$零点个数以及比较函数值大小的关键基础。

本步骤的目标是将各选项中的分式不等式转化为关于函数 $F(x)=e^{-x}f(x)$ 的比较形式。首先回顾已知条件：$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，且 $f'(x) > f(x)$。构造函数 $F(x)=e^{-x}f(x)$，则 $F'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x)) > 0$，故 $F(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增。 现在逐一转化各选项： **选项A：** $f(0)f(-1) > e^2$。两边同时除以 $e^{-1}f(-1)$ 不直接，考虑改写：$f(0) > e^2/f(-1)$，但更系统的方法是将分式化为 $F$ 的形式。注意到 $e^2 = e^{0-(-2)}$，但选项A中涉及 $f(0)$ 和 $f(-1)$，可尝试构造 $F(0)=e^{0}f(0)=f(0)$，$F(-1)=e^{1}f(-1)$。不等式 $f(0)f(-1) > e^2$ 等价于 $f(0) > \frac{e^2}{f(-1)}$，不易直接比较。实际上，将 $f(0)f(-1) > e^2$ 两边除以 $e^{-1}f(-1)$ 得 $\frac{f(0)}{e^{-1}f(-1)} > \frac{e^2}{e^{-1}f(-1)^2}$，不简洁。正确转化：$f(0)f(-1) > e^2$ 等价于 $\frac{f(0)}{e^{0}} \cdot \frac{f(-1)}{e^{-1}} > e^{0-(-1)}$？更标准做法：$f(0)f(-1) > e^2$ 两边除以 $e^{-1}$ 得 $e f(0)f(-1) > e^3$，仍不直接。实际上，选项A可化为 $\frac{f(0)}{e^{0}} \cdot \frac{f(-1)}{e^{-1}} > e^{0-(-1)}$？检查：$F(0)=f(0)$，$F(-1)=e f(-1)$，则 $F(0)F(-1)=e f(0)f(-1)$。原不等式 $f(0)f(-1) > e^2$ 等价于 $e f(0)f(-1) > e^3$，即 $F(0)F(-1) > e^3$，不是简单的 $F(a) > F(b)$ 形式。但题目要求转化为 $F$ 的比较，可能需进一步分析。实际上，对于选项A，可考虑 $\frac{f(0)}{f(-1)} > e^2$？不对，$f(0)f(-1) > e^2$ 不能直接写成 $F$ 的单调性比较。但根据步骤目标，我们只转化那些能直接比较的选项。 **选项B：** $\frac{f(0)}{f(-1)} > e$。两边乘以 $e^{-1}$ 得 $\frac{f(0)}{e f(-1)} > 1$，即 $\frac{f(0)}{e^{0}} \cdot \frac{e^{-1}}{f(-1)} > 1$？更直接：$\frac{f(0)}{f(-1)} > e$ 等价于 $\frac{f(0)}{e^{0}} > \frac{e \cdot f(-1)}{e^{0}}$？注意 $F(0)=f(0)$，$F(-1)=e f(-1)$，则 $\frac{f(0)}{f(-1)} > e$ 等价于 $f(0) > e f(-1)$，即 $F(0) > F(-1)$。因此选项B等价于 $F(0) > F(-1)$。 **选项C：** $\frac{f(0)}{f(1)} > e^2$。两边乘以 $e^{-1}$ 得 $\frac{f(0)}{e f(1)} > e$，不直接。注意 $F(0)=f(0)$，$F(1)=e^{-1}f(1)$，则 $\frac{f(0)}{f(1)} > e^2$ 等价于 $f(0) > e^2 f(1)$，即 $F(0) > e^3 F(1)$？实际上，$e^2 f(1) = e^3 \cdot e^{-1}f(1) = e^3 F(1)$，所以不等式为 $F(0) > e^3 F(1)$，不是简单的 $F(a) > F(b)$。但若两边除以 $e^2$ 得 $\frac{f(0)}{e^2 f(1)} > 1$，即 $\frac{F(0)}{e^2 F(1)} > 1$，仍不是直接比较。 **选项D：** $\frac{f(0)}{f(1)} > e$。类似，$f(0) > e f(1)$，即 $F(0) > e^2 F(1)$，也不直接。 因此，只有选项B能直接转化为 $F(0) > F(-1)$ 的形式。由于 $F(x)$ 单调递增，且 $0 > -1$，故 $F(0) > F(-1)$ 成立，从而选项B正确。其他选项无法直接通过单调性判断，需进一步分析（后续步骤）。

由前一步已证得函数 $F(x)$ 在区间 $[-1,0]$ 上单调递增。根据单调递增的定义：对任意 $x_1 < x_2$，有 $F(x_1) < F(x_2)$。取 $x_1 = -1$，$x_2 = 0$，则 $-1 < 0$，故 $F(-1) < F(0)$，即 $F(0) > F(-1)$ 成立。因此选项B正确。 接下来验证其他选项是否成立。 对于选项A：$F(0) > F(1)$。由于 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上的单调性未知（仅已知 $[-1,0]$ 上单调递增），不能直接由已知结论推出。实际上，由 $F(x)$ 的表达式或已知条件可验证 $F(0) < F(1)$，故A错误。 对于选项C：$F(-1) > F(-2)$。由于 $-2 < -1$，且区间 $[-2,-1]$ 不在已知单调递增区间 $[-1,0]$ 内，不能直接使用。实际计算或已知条件表明 $F(-1) < F(-2)$，故C错误。 对于选项D：$F(1) > F(2)$。区间 $[1,2]$ 同样不在已知单调区间内，且实际关系为 $F(1) < F(2)$，故D错误。 综上，仅选项B正确。最终答案为B。