2020年考研数学二第23题

已知$P=(\alpha, A\alpha)$，要证明$P$可逆，即证明向量组$\alpha$与$A\alpha$线性无关。采用反证法：假设$\alpha$与$A\alpha$线性相关，则存在数$\lambda$使得$A\alpha = \lambda\alpha$。这意味着$\alpha$是矩阵$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量，与题设“$\alpha$不是$A$的特征向量”矛盾。因此假设不成立，$\alpha$与$A\alpha$线性无关，从而$P$可逆。

已知条件为 $A^2\alpha + A\alpha - 6\alpha = 0$。我们的目标是化简 $A^2\alpha$。 将已知等式移项，把 $A\alpha$ 和 $-6\alpha$ 移到等号右边： $$A^2\alpha = -A\alpha + 6\alpha$$ 整理右边，将 $\alpha$ 视为公共因子（注意 $\alpha$ 是向量，$A\alpha$ 是矩阵乘向量，不能直接提取系数，但这里 $6\alpha$ 是数乘向量，$-A\alpha$ 是向量，所以可以合并为向量的线性组合）： $$A^2\alpha = 6\alpha - A\alpha$$ 因此，我们得到 $A^2\alpha$ 用 $\alpha$ 和 $A\alpha$ 表示的表达式： $$A^2\alpha = 6\alpha - A\alpha$$ 这个化简结果将用于后续步骤中进一步推导特征值或特征向量的关系。

已知矩阵 $P = (\alpha, A\alpha)$，即 $P$ 的第一列为向量 $\alpha$，第二列为向量 $A\alpha$。我们需要计算 $AP$。 根据矩阵乘法的定义，$AP = A(\alpha, A\alpha) = (A\alpha, A^2\alpha)$。 由题目条件（或前一步推导）可知，$A^2\alpha = 6\alpha - A\alpha$。因此， $$AP = (A\alpha, 6\alpha - A\alpha).$$ 现在，我们要将 $AP$ 表示为 $P$ 乘以某个 $2 \times 2$ 矩阵 $B$ 的形式，即 $AP = PB$。设 $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$，则 $$PB = (\alpha, A\alpha) \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = (b_{11}\alpha + b_{21}A\alpha, \; b_{12}\alpha + b_{22}A\alpha).$$ 比较 $AP$ 的第一列 $A\alpha$ 与 $PB$ 的第一列 $b_{11}\alpha + b_{21}A\alpha$，可得： $$b_{11}\alpha + b_{21}A\alpha = A\alpha.$$ 由于 $\alpha$ 与 $A\alpha$ 线性无关（由题目条件可知），系数必须对应相等，因此 $b_{11}=0$，$b_{21}=1$。 比较第二列：$AP$ 的第二列为 $6\alpha - A\alpha$，$PB$ 的第二列为 $b_{12}\alpha + b_{22}A\alpha$，所以 $$b_{12}\alpha + b_{22}A\alpha = 6\alpha - A\alpha.$$ 同样由线性无关性，得 $b_{12}=6$，$b_{22}=-1$。 因此， $$B = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.$$ 于是， $$AP = P \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.$$

已知条件为 $AP = P\begin{pmatrix}0 & 6\\1 & -1\end{pmatrix}$，且矩阵 $P$ 可逆（因为 $P$ 由线性无关的特征向量构成）。为了求出 $P^{-1}AP$，我们在等式两边同时左乘 $P^{-1}$，得到： $$P^{-1}AP = P^{-1}P\begin{pmatrix}0 & 6\\1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 6\\1 & -1\end{pmatrix}.$$ 因此，$P^{-1}AP$ 就是题目中给出的矩阵 $\begin{pmatrix}0 & 6\\1 & -1\end{pmatrix}$。注意，这个矩阵恰好是 $A$ 的相似标准形（Jordan 形或对角形，取决于 $P$ 的构造）。由于 $P$ 的列向量是 $A$ 的特征向量，$P^{-1}AP$ 应当是一个对角矩阵或 Jordan 块矩阵。这里得到的矩阵 $\begin{pmatrix}0 & 6\\1 & -1\end{pmatrix}$ 的特征多项式为 $\lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda+3)(\lambda-2)$，特征值为 $\lambda_1 = -3$，$\lambda_2 = 2$，与 $A$ 的特征值一致，验证了相似变换的正确性。 因此，$P^{-1}AP = \begin{pmatrix}0 & 6\\1 & -1\end{pmatrix}$。

由前一步已知矩阵 $A$ 与矩阵 $B = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ 相似，因此 $A$ 与 $B$ 具有完全相同的特征值和可对角化性质。我们只需判断 $B$ 是否可对角化。 首先计算 $B$ 的特征多项式： $$ |\lambda I - B| = \begin{vmatrix} \lambda & -6 \\ -1 & \lambda+1 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda+1) - 6 = \lambda^2 + \lambda - 6. $$ 令特征多项式为零： $$ \lambda^2 + \lambda - 6 = 0. $$ 解得特征值为： $$ \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -3. $$ 由于 $B$ 是 $2 \times 2$ 矩阵，且有两个不同的特征值 $2$ 和 $-3$，每个特征值的几何重数（即特征空间的维数）至少为 $1$，而代数重数均为 $1$，因此几何重数等于代数重数。根据可对角化的充要条件：对于每个特征值，几何重数等于代数重数，且所有特征值的几何重数之和等于矩阵的阶数，可知 $B$ 可对角化。 因为 $A$ 与 $B$ 相似，相似矩阵具有相同的可对角化性质，所以 $A$ 也可对角化。 **最终答案验证**：矩阵 $A$ 可相似对角化，且存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$。