2021年考研数学二第15题

给定三阶常系数齐次线性微分方程 $y''' - y = 0$。对于形如 $y''' + a_2 y'' + a_1 y' + a_0 y = 0$ 的方程，我们通常假设解具有指数形式 $y = e^{\lambda x}$，其中 $\lambda$ 为待定常数。将 $y = e^{\lambda x}$ 代入原方程：首先计算各阶导数：$y' = \lambda e^{\lambda x}$，$y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$，$y''' = \lambda^3 e^{\lambda x}$。代入得：$$\lambda^3 e^{\lambda x} - e^{\lambda x} = 0$$ 提取公因子 $e^{\lambda x}$（$e^{\lambda x} \neq 0$），得到：$$(\lambda^3 - 1) e^{\lambda x} = 0$$ 因此特征方程为：$$\lambda^3 - 1 = 0$$ 这就是将微分方程转化为代数方程的过程。该特征方程是三次方程，后续步骤将求解 $\lambda$ 并写出通解形式。

我们需要求解特征方程 $\lambda^3 - 1 = 0$。这是一个三次方程，可以因式分解为 $(\lambda - 1)(\lambda^2 + \lambda + 1) = 0$。 首先，令 $\lambda - 1 = 0$，得到第一个特征根 $\lambda_1 = 1$。 其次，解二次方程 $\lambda^2 + \lambda + 1 = 0$。使用求根公式： $$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$$ 因此，另外两个特征根为 $\lambda_{2,3} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$。 综上所述，特征根为 $\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，$\lambda_3 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$。

前一步已求得特征方程 $r^3 + r - 2 = 0$ 的三个特征根：实根 $\lambda_1 = 1$，以及一对共轭复根 $\lambda_{2,3} = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$。 对于实根 $\lambda_1 = 1$，根据常系数线性微分方程的理论，其对应的解的形式为 $C_1 e^{\lambda_1 x} = C_1 e^{x}$，其中 $C_1$ 为任意常数。 对于共轭复根 $\lambda_{2,3} = \alpha \pm i\beta$，其中 $\alpha = -\frac{1}{2}$，$\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$，对应的解的形式为 $e^{\alpha x}\big(C_2 \cos(\beta x) + C_3 \sin(\beta x)\big)$。代入 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值，得到 $e^{-\frac{1}{2}x}\big(C_2 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\big)$。 因此，原三阶常系数齐次线性微分方程的通解为上述两部分之和： $$ y(x) = C_1 e^{x} + e^{-\frac{1}{2}x}\left(C_2 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) $$ 其中 $C_1, C_2, C_3$ 为任意常数。 注意：通解中每一项都对应一个线性无关的解，组合后构成整个解空间。此通解形式已完整，下一步将利用初始条件确定常数。

在前三步中，我们已经分别求出了齐次方程的两个部分解：对应于特征根 $r_1 = 1$ 的解为 $y_1 = C_1 e^x$；对应于一对共轭复根 $r_{2,3} = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解为 $y_2 = e^{-\frac{1}{2}x}\left(C_2 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)$。根据线性微分方程解的结构定理，三阶齐次线性微分方程的通解等于其三个线性无关特解的线性组合。因此，将这两部分相加，即得到原方程的通解： $$ y = C_1 e^x + e^{-\frac{1}{2}x}\left(C_2 \cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right), $$ 其中 $C_1, C_2, C_3$ 为任意常数。 **验证**：由于该通解是由特征方程的三个根直接构造的，根据常系数齐次线性微分方程的理论，它必然满足原方程。我们可以通过代入验证：对 $y$ 求三阶导数并代入方程，各项会相互抵消，恒等于零。例如，对于 $e^x$ 项，$y''' - y'' + y' - y = e^x - e^x + e^x - e^x = 0$；对于复根对应的三角函数指数组合，利用欧拉公式 $e^{(-\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2})x}$ 的导数性质，同样满足方程。因此，该通解正确无误。