当 $x \rightarrow 0$ 时， $\displaystyle\int_{0}^{x^{2}}\left(\mathrm{e}^{t^{3}}-1\right) \mathrm{d} t$ 是 $x^{7}$ 的（ ）。
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处（ ）．
有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s},-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，当底面半径为 10 cm ，高为 5 cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（）。
设函数 $f(x)=a x-b \ln x(a\gt 0)$ 有两个零点，则 $\displaystyle\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）。
设函数 $f(x)=\sec x$ 在 $x=0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $1+a x+b x^{2}$ ，则（ ）．
设函数 $f(x, y)$ 可微，且 $f\left(x+1, \mathrm{e}^{x}\right)=x(x+1)^{2}, f\left(x, x^{2}\right)=2 x^{2} \ln x$ ，则 $\mathrm{d} f(1,1)=$ （ ）．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，则 $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=(\quad)$ ．
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}-\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）。
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解，则
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5\end{array}\right)$ ，若存在下三角可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和上三角可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $P A Q$ 为对角矩阵，则 $P, Q$ 分别可以取（ ）．
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \mathrm{e}^{t}+t+1 \\ y=4(t-1) \mathrm{e}^{t}+t^{2}\end{array}\right.$ 所确定，则 $\left.\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z+y \ln z-\arctan 2 x y=1$ 确定，则 $\left.\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．
已知函数 $f(t)=\displaystyle\int_{1}^{t^{2}} \mathrm{~d} x \displaystyle\int_{\sqrt{x}}^{t} \sin \displaystyle\frac{x}{y} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 1 & 2 x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^{3}$ 项的系数为 $\_\_\_\_$
求极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{1+\displaystyle\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\mathrm{e}^{x}-1}-\displaystyle\frac{1}{\sin x}\right)$ ．
设函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle\int \displaystyle\frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{1}{6} x^{2}-x+C, L$ 为曲线 $y=f(x)(4 \leqslant x \leqslant 9)$ ，$L$ 的弧长为 $s, L$ 绕 $x$ 轴旋转一周所形成的曲面面积为 $A$ ，求 $s$ 与 $A$ ．
设 $y=y(x)(x\gt 0)$ 满足微分方程 $x y^{\prime}-6 y=-6$ ，且满足 $y(\sqrt{3})=10$ ， （I）求 $y(x)$ ； （II）设 $P$ 为曲线 $y=y(x)$ 上的一点，曲线 $y=y(x)$ 在点 $P$ 的法线在 $y$ 轴上的截距为 $I_{P}$ ，为使 $I_{P}$ 最小，求 $P$ 的坐标。
曲线 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{2}-y^{2}(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴围成的区域为 $D$ ，求 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b\end{array}\right)$ 仅有两个不同的特征值．若 $\boldsymbol{A}$ 相似对角于对角矩阵，求常数 $a, b$ 的值，并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵．